Test du ?² - Définition

Principe

À la base d'un test statistique il y a la formulation d'une hypothèse appelée hypothèse zéro (H0). Dans le cas présent, elle suppose que toutes les données considérées dérivent de la même loi de probabilité (ou, dit différemment, la distribution observée n'est pas différente de la distribution supposée d'après la loi que l'on souhaite tester).

Ces données ayant été réparties en classes, il faut

• déterminer le nombre de degrés de liberté du problème à partir du nombre de classes ;
• se donner a priori un risque de se tromper (la valeur 5 % est souvent choisie par défaut, mais il s'agit plus souvent d'une coutume que du résultat d'une réflexion) ;
• à l'aide d'une table de χ², déduire en tenant compte du nombre de degrés de liberté la distance critique qui a une probabilité de dépassement égale à ce risque ;
• calculer algébriquement la distance entre les ensembles d'informations à comparer.

Si cette distance est supérieure à la distance critique, on conclut que le résultat n'est pas dû seulement aux fluctuations d'échantillonnage et que l'hypothèse nulle H0 doit donc être rejetée. Le risque choisi au départ est celui de donner une réponse fausse lorsque les fluctuations d'échantillonnage sont seules en cause. Le rejet est évidemment une réponse négative dans les tests d'adéquation et d'homogénéité mais il apporte une information positive dans les tests d'indépendance. Pour ceux-ci, il montre le caractère significatif de la différence, ce qui est intéressant en particulier dans les tests de traitement d'une maladie.

Remarque

Les phénomènes quantifiables au sein d'une population sont soumis à des fluctuations statistiques. Considérons par exemple le taux de chômage dans un état donné, ou bien le taux de croissance.

D'une année sur l'autre, des variations dans ces taux sont systématiquement enregistrées (baisse ou hausse) pour autant elles ne signifient pas en elle-même, contrairement à une croyance trop répandue, que la variable considérée (taux de croissance ou de chômage) a bel et bien changé (rigoureusement qu'elle a changé de loi, c’est-à-dire que des procédés mis en place sont venus influencer sa distribution). Lorsque l'on considère une variable, il faut distinguer l'impact causal de la fluctuation statistique aléatoire. Ainsi, une baisse du taux de chômage de 2% d'une année à l'autre peut très bien n'être imputable qu'au caractère aléatoire de la variable « taux de chômage » et ne rien signifier sur le plan causal. Cette baisse ne signifie pas d'elle-même que des mesures efficaces ont influencé la loi de distribution du chômage. Seuls les tests statistiques sont connus actuellement pour faire foi et déterminer (à un seuil donné) si cette variation est le fruit du hasard ou non. À cet égard les tests du χ² sont exceptionnellement utiles.