Algèbre associative - Définition
En mathématiques, une algèbre associative est un espace vectoriel dans lequel est aussi définie une multiplication des vecteurs, qui possède les propriétés de distributivité et d'associativité.
Définition
Une algèbre associative A sur un corps
- (x y) z = x (y z) pour tous x, y et z dans A,
où l'image de (x,y) est notée xy.
Si A contient une unité, i.e. un élément 1 tel que 1x=x=x1 pour tout x dans A, alors A est appelée algèbre associative unitaire. Une telle algèbre est un anneau et contient le corps de base
La dimension d'une algèbre associative A sur un corps
Exemples
- Les matrices carrées de taille n par n à coefficients dans
- Les nombres complexes
- Les quaternions forment une algèbre associative unitaire de dimension 4 sur le corps des nombres réels.
- Les polynômes à coefficients dans
- Pour tout espace vectoriel V, les endomorphismes de V forment une algèbre associative unitaire.
- Les algèbres enveloppantes des algèbres de Lie sont des algèbres associatives.
- Les algèbres d'incidence des ordres partiels localement finis sont des algèbres associatives utilisées en combinatoire.
