Anneau (mathématiques)

En algèbre générale, un anneau est une structure algébrique sur laquelle deux opérations satisfont certaines des propriétés de l'addition et la multiplication des nombres.

L'étude des corps et des anneaux trouve son origine dans l'école allemande du XIX siècle. Elle est développée par les mathématiciens Kummer, Dedekind, Kronecker et Hilbert. Elle naît de l'étude des équations algébriques, des nombres algébriques et de la recherche d'une démonstration du grand théorème de Fermat. Elle conduira à un développement important de l'algèbre générale et de la géométrie algébrique.

Dans le X Supplément de sa seconde édition des Leçons sur la théorie des nombres de Dirichlet, en 1871, Dedekind considère, à côté de la notion de corps (Körper), l'anneau des entiers d'un corps de nombres algébriques ; il introduira un peu plus tard d'autres anneaux qu'il appelle ordres (Ordnung). Mais c'est David Hilbert qui emploie le terme d'anneau (Ring) pour définir ce qui est toujours à l'époque un anneau commutatif unitaire, dans son Rapport sur les nombres (Zahlbericht) de 1897 pour la Deutsche Mathematiker-Vereinigung.

Un anneau est un triplet (A, +, ∙) tel que :

• A est un ensemble ;
• + est une loi de composition interne telle que (A, +) soit un groupe commutatif ; ce qui signifie que
• la loi + est associative ;
• A contient au moins un élément : l'élément neutre pour la loi +, noté 0 ;
• tout élément a de A a un opposé, noté −a ;
• la loi + est commutative (a+b = b+a) ;
• ∙ est une loi de composition interne associative et distributive par rapport à + ;

Depuis les années 1960, Nicolas Bourbaki et de nombreux auteurs imposent dans leur définition à un anneau d'être unifère (on dit aussi unitaire), c'est-à-dire que la loi associative . admet un élément neutre noté 1 ou 1_A qui vérifie :

• 1.x = x.1 = x
• Anneau unitaire : un anneau est dit unitaire si la loi ∙ dispose d'un élément neutre, noté 1.

En terminologie universitaire française et en terminologie anglaise les anneaux sont souvent considérés par défaut comme unitaires. Dans le cas contraire, si la loi ∙ ne dispose pas d'élément neutre, on dit que A est un pseudo-anneau ou une algèbre associative. Cependant, comme les auteurs pour qui un anneau n'est pas nécessairement unitaire restent nombreux, il convient d'une part de toujours s'assurer de la définition concrètement utilisée, et il n'est pas inutile d'ajouter l'adjectif "unitaire" même si ce serait redondant. Si A est un pseudo-anneau non unitaire, on peut construire un anneau unitaire A' qui contient A comme sous-anneau non unitaire.

Les auteurs qui supposent les anneaux unitaires imposent aux sous-anneaux de contenir l'unité de l'anneau et aux morphismes d'anneaux : A $\to$ B, de transformer l'unité de A en l'unité de B. Cette définition (les anneaux sont supposés unitaires) est récente et n'était pas adoptée à l'origine.

Un morphisme d'anneaux est une application entre deux anneaux A et B, compatible avec les lois de ces anneaux, c'est-à-dire qui vérifie :

f(a+b)=f(a)+f(b)

f(a.b)=f(a).f(b)

Si on suppose dans la définition que les anneaux sont unitaires, l'application f doit transformer l'unité de l'anneau unitaire A en l'unité de B.

f(1_A) = 1_B

Si f est une bijection, on dit que f est un isomorphisme d'anneaux.

On dit que deux anneaux A et B sont isomorphes si il existe un isomorphisme de A sur B.

Puissances dans un anneau

Soit n un entier naturel supérieur à 1, x un élément de l'anneau A, on note x pour désigner l’élément de A défini par récurrence à partir de :

x = x et x = x.x.

On a :

x.x = x.

Pour tout entier naturel non nul n, x résulte de n-1 associations de la seconde loi de composition interne associative ·, en utilisant n valeurs successives toutes égales à x (l’ordre de ces compositions est sans importance car elles sont associatives)

x = x.x....x.

Si l'anneau A est unitaire, on pose habituellement x = 1_A.

Eléments permutables dans un anneau et anneaux commutatifs

Si xy=yx, on dit que x et y sont permutables et alors (x**y) = x.y.

• Anneau commutatif : un anneau est commutatif si sa seconde loi est aussi commutative, c'est-à-dire si tous ses éléments sont permutables.

Voir article détaillé : Anneau commutatif

Convention : Le terme « anneau » est souvent employé pour désigner un anneau commutatif unitaire. Il faut donc prêter garde au contexte dans lequel ce terme est employé.

Multiplication par un entier relatif

Précisons tout de suite que cette multiplication ne fait pas partie de la structure de l'anneau, mais elle apparaît de façon naturelle pour tout anneau. Il s'agit tout simplement de la multiplication par un entier appliquée au groupe additif de l'anneau. L'élément na est défini par

• si $n>0,na=a+a+\dots +a$ avec n termes a
• si $n=0,na=0$
• si $n<0,na=-|n|a$

De plus, cette loi externe est compatible avec la multiplication de l'anneau :

Cela confère alors à l'anneau une structure de $\mathbb{Z}$-algèbre associative. En particulier, si l'anneau est unitaire, on peut multiplier son unité par tout entier, et cela définit une application de Z dans A . Il est clair, d'après sa définition, que cette application est le seul morphisme d'anneaux unitaires de Z vers A. On peut alors définir la caractéristique de l'anneau comme l'entier naturel n qui engendre le noyau de ce morphisme. En effet, le noyau de ce morphisme est un idéal de Z et s'écrit alors nZ.

Cette structure additionnelle est très utilisée pour les différentes théories de cohomologie.

Formule du binôme

Voir Formule du binôme de Newton.

Cette formule est applicable à tout couple d'éléments permutables.

Elle se généralise à toute famille finie d'éléments permutables deux à deux : Formule du multinôme.

• L'ensemble des entiers relatifs, $\mathbb{Z}$ muni de l'addition (la loi +) et de la multiplication (la loi ∙) est un anneau commutatif unitaire.

• L'ensemble des entiers congruents modulo un nombre entier donné p est un anneau commutatif unitaire pour la loi provenant la congruence ; il est noté $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

• Ainsi $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ pour les lois + et * est un anneau à deux éléments. 0 correspond aux nombres pairs et 1 aux nombres impairs. On retrouve alors les résultats suivants :

• Un pair plus un pair est pair (0+0=0).

• Un impair plus un pair est impair (0+1=1+0=1).

• Un impair plus un impair est pair (1+1=0).

• Un pair fois un entier quelconque est pair (0*x=0).

• Un impair fois un impair est impair (1*1=1).

• Un corps est un cas particulier d'anneau (unitaire) pour lequel tous les éléments non nuls sont inversibles pour la loi (.).

• En particulier, l'ensemble des nombres rationnels, $\mathbb{Q}$, l'ensemble des nombres réels, $\mathbb{R}$, l'ensemble des nombres complexes, $\mathbb{C}$, munis de l'addition et de la multiplication usuelles sont des anneaux (unitaires) commutatifs.

• L'ensemble des nombres décimaux, $\mathbb{D}$, munis de l'addition et de la multiplication usuelles est un anneau (unitaire) commutatif qui n'est pas un corps.

• L'ensemble des réels s'écrivant $a+b\sqrt{2}$, où a et b sont des entiers relatifs, muni de l'addition et de la multiplication usuelles est un anneau commutatif, mais pas un corps.

• Les endomorphismes d'un espace vectoriel (applications linéaires de l'espace vers lui-même) forment un anneau, avec l'addition de fonction pour la loi +, et la composition pour la loi ∙. L'identité est un élément neutre pour ∙, donc c'est un anneau unitaire. Il n'est pas commutatif en général. C'est une grande source de contre-exemples à des affirmations fausses sur les anneaux.

• Plus généralement les endomorphismes d'un groupe abélien forment un anneau.

• L'ensemble des matrices 2 × 2, à coefficients réels, muni de l'addition et de la multiplication est aussi un anneau non commutatif unitaire, isomorphe à l'anneau des endomorphismes de l'espace vectoriel ${\mathbb{R}}^2$.

• L'ensemble des polynômes à coefficients dans un anneau commutatif est aussi un anneau commutatif.

• L'ensemble des applications d'un ensemble X à valeurs dans un anneau, muni des lois héritées de l'anneau (c'est-à-dire (f+g)(x)=f(x)+g(x) et (f*g)(x)=f(x)*g(x)) forme un anneau noté A.

Anneau nul

L'ensemble à un seul élément {0} muni des opérations 0+0=0 et 0.0=0 est un anneau, appelé anneau nul.

La notion de pseudo-anneau de carré nul est plus intéressante : on dit qu'un pseudo-anneau A est de carré nul si le produit de deux éléments de A est toujours nul. Si le pseudo-anneau est unitaire, il est alors réduit à 0 car pour tout élément x de A, on a : x=1.x=0. Tout groupe abélien (A, +) peut être muni d'une structure de pseudo-anneau nul en posant x.y=0.

Anneau opposé

L'anneau opposé A d'un anneau A possède le même groupe additif sous-jacent que A et sa multiplication est effectuée dans l'ordre opposé : si l'on note ${\cdot }_A$ et ${\cdot }_{A^{op}}$ les multiplications respectives de A et A, on a

Il est clair que si A est commutatif, A = A.

• Élément inversible : un élément a ∈ A d'un anneau unitaire est dit inversible lorsqu'il existe un élément b de l'anneau tels que

a∙b = b∙a = 1. On appelle parfois les éléments inversibles les éléments unités (ou simplement unités). On note l'ensemble des inversibles : A.

Voir article détaillé : Élément inversible

Les éléments inversibles de Z sont -1 et 1

• Élément régulier : un élément a ∈ A est dit régulier à droite (resp. à gauche) si et seulement si le seul élément x de A tel que x∙a = 0 (resp. a∙x=0) est x = 0; on note l'ensemble des réguliers : A

Un élément inversible est nécessairement régulier mais la réciproque est fausse.

• Diviseur de zéro : un élément non nul a ∈ A est un diviseur de 0 à droite (resp. à gauche) s'il existe un élément b de A non nul et tel que b∙a = 0 (resp. a∙b = 0). Si un anneau commutatif est sans diviseur de 0, on dit qu'il est intègre.

L'ensemble des éléments réguliers et des diviseurs de zéro forment une partition de A\ {0}

Voir article détaillé : Diviseur de zéro

• Élément nilpotent : un élément a ∈ A est dit nilpotent d'ordre n s'il existe un entier n non nul tel que a=0 et que pour tout k appartenant à {0;n-1} $a^k\ne 0$. Si un anneau est sans élément nilpotent, on dit qu'il est réduit.

Un élément nilpotent non nul est un diviseur de zéro.

2 est nilpotent dans tous les anneaux $\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}$ où n≥2.

Si a est nilpotent (et l'anneau est unitaire), (1-a) est inversible

• Élément central : un élément qui commute (pour la multiplication) avec tout autre élément de A.

• Élément idempotent ou projecteur : un élément a ∈ A est appelé projecteur ou idempotent lorsque a∙a = a = a.

Toute projection sur un sous-espace vectoriel est un projecteur dans l'anneau des endomorphismes décrit ci-dessus.

• Diviseur : si a ∈ A est non nul, et d ∈ A. On dit que d est un diviseur de a à droite (resp. à gauche) si et seulement s'il existe b ∈ A tel que a = b∙d (resp. a = d∙b). Si l'anneau est commutatif, on parle simplement de diviseur.

Divisibilité dans un anneau commutatif

• Éléments associés : dans un anneau commutatif unitaire, deux éléments a et b sont associés si il existe un élément inversible u tel que a = u∙b, ce qui équivaut, si l'anneau est intègre, à : a divise b et b divise a.

• Élément irréductible : Dans un anneau commutatif unitaire, un élément a ∈ A non inversible est irréductible si et seulement si ses seuls diviseurs dans A sont les éléments inversibles u ou les éléments s'écrivant a∙u (éléments associés à u).

• Élément premier : Dans un anneau commutatif unitaire, un élément p ∈ A est dit premier si, pour tous éléments a et b de A, si p divise a∙b et si p ne divise pas a alors p divise b

Dans un anneau commutatif unitaire intègre, un élément premier est irréductible, mais la réciproque n'est pas toujours vraie.

• Élément extrémal : Dans un anneau commutatif unitaire, un élément non inversible p ∈ A est dit extrémal si tout élément a de A, non divisible par p, est étranger avec p, c'est-à-dire que il existe deux éléments de A : u et v, tels que au+pv=1. En termes d'idéaux (voir plus loin), cela signifie que l'idéal des multiples de p : (p) est un idéal maximal de A (ce qui équivaut à l'importante propriété : "A / (p) est un corps".)

Dans un anneau commutatif unitaire intègre, un élément maximal est premier, mais la réciproque n'est pas toujours vraie.

• Éléments premiers entre eux : dans un anneau commutatif unitaire intègre, deux éléments a et b sont premiers entre eux si et seulement si, pour tout d de A, si d divise a et d divise b alors d est un élément inversible.

Anneaux de Boole

Un anneau de Boole, noté $\mathcal{B}$, est un anneau unitaire dans lequel tout élément est idempotent pour la multiplication i.e. $\forall x\in \mathcal{B},x.x=x$

Quelques propriétés des anneaux de Boole :

$\mathcal{B}$ est de caractéristique 2, i.e. $\forall x\in \mathcal{B},x+x=0$

$\mathcal{B}$ est un anneau commutatif.

$\mathcal{B}$ n'est pas intègre, sauf s'il est réduit à un ou à deux éléments.

Exemple : l'ensemble des parties $\mathcal{P}(E)$ d'un ensemble $E$ muni de la différence symétrique considérée comme addition i.e. $X+Y=(X\cup Y)-(X\cap Y)$ et de l'intersection considérée comme multiplication i.e. $X\cdot Y=X\cap Y$ est un anneau de Boole. Tout anneau de Boole fini est de cette forme.

Les notions d'anneau de Boole et d'algèbre de Boole sont intimement liées (voir l'article Algèbre de Boole (structure)).

Anneaux intègres, réduits, factoriels et euclidiens

• Anneau intègre : anneau dans lequel tout élément non nul est régulier i.e. qu'aucun élément n'est un diviseur de zéro. Par définition, tout anneau intègre est unitaire et/ou commutatif.

• Anneau réduit : un anneau est dit réduit si et seulement si son élément nul est le seul élément nilpotent.

Exemple : $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ est un anneau réduit mais non intègre car 2 et 3 sont des diviseurs de zéro dans cet anneau.

• Corps : un corps est un anneau unitaire dont tous les éléments non nuls sont inversibles.

Tout anneau intègre fini est nécessairement un corps.

• • Corps des fractions d'un anneau intègre

Un anneau commutatif unitaire intègre (ou domaine d'intégrité) est presque un corps mais certains éléments ne sont pas toujours inversibles. On démontre que l'on peut plonger tout anneau commutatif intègre dans un corps appelé corps des fractions de A.

Remarque : il n'est pas nécessaire que l'anneau soit unitaire, car l'élément neutre apparaît de toute façon dans la construction du corps des fractions.

• Anneau factoriel : anneau commutatif unitaire intègre dans lequel tous les éléments se décomposent de manière unique (aux inversibles près) en produit d'éléments irréductibles.

plus exactement pour tout a de A, il existe n éléments irréductibles p₁, p₂, ..., p_n tels que a = p₁p₂...p_n. Cette décomposition est unique à l'ordre des p_i près et au produit par des éléments inversibles près.

• Anneau euclidien : anneau commutatif unitaire intègre dans lequel on peut définir une division euclidienne.

Plus précisément, il existe une application v (appelé stathme euclidien) de A\{0} dans N telle que pour tout a et b de A, b non nul, il existe un couple (q, r) de A tel que a = bq + r avec r nul ou v(r) < v(b)

$\mathbb{Z}[i]$ est un anneau euclidien dans lequel le couple (q,r) n'est pas unique

L'anneau $\mathbb{Z}$ des entiers relatifs est un anneau euclidien pour v = valeur absolue

Si $\mathbb{K}$ est un corps commutatif, l'anneau $\mathbb{K}[X]$ est un anneau euclidien pour v = degré du polynôme.

Une partie B d'un anneau A est un sous-anneau de (A, +, .) si :

• (B, +) est un sous-groupe de (A,+)
• B est stable pour la loi .
• S'il est requis que les anneaux soient unitaires (cela dépendant de la définition utilisée), alors le sous anneau doit lui être aussi unitaire et son 1 doit provenir du 1 de l'anneau initial (1_A = 1_B), ce qui équivaut à $1_A\in B$.

Un sous-anneau B est un anneau pour les opérations + et . restreintes à B.

Exemples

Dans le cas unitaire

• Dans l'anneau commutatif (unitaire) Z, 2 Z est un idéal, qui n'a pas d'élément unité, ce n'est donc pas un anneau et encore moins un sous-anneau de Z.
• Dans l'ensemble des matrices carrées M₂ (à coefficients dans R par exemple), anneau non-commutatif unitaire, l'ensemble des matrices de la forme :

$\left[\begin{array}{ccc}x& 00& 0\end{array}\right](x\in R)$ est un anneau unitaire dont l'élément neutre pour la multiplication $\left[\begin{array}{ccc}1& 00& 0\end{array}\right]$ est différent de la matrice identité $\left[\begin{array}{ccc}1& 00& 1\end{array}\right]$ Ce n'est donc pas un sous-anneau de M₂, ni de l'anneau des matrices diagonales.

Dans le cas non-unitaire

• 2 Z est cette fois-ci un (pseudo-)anneau et c'est bien un sous anneau de Z.
• $A={\mathbb{Z}}^2$ est un anneau unitaire, et l'ensemble B des couples (0 ; n) ayant la première composante nulle est un sous anneau qui a la particularité d'être unitaire mais de ne pas avoir la même unité que l'anneau $A={\mathbb{Z}}^2$. Ce dernier a 1_A = (1;1) comme unité et le sous anneau a pour unité 1_B = (0;1).

Construction de sous-anneaux

• Éléments entiers sur un sous-anneau B : dans un anneau commutatif unitaire intègre A contenant un sous-anneau B, un élément x ∈ A est entier sur B si et seulement si x est solution d'une équation P(x) = 0 où P est un polynôme unitaire à coefficient dans B.

L'anneau Z des entiers relatifs est un sous-anneau de l'anneau Q des rationnels. Les seuls éléments de Q entiers sur Z sont les entiers relatifs.

L'anneau Z des entiers relatifs est un sous-anneau de l'anneau Q[i] des complexes s'écrivant a + ib, a et b étant des rationnels . Les éléments de Q[i] entiers sur Z sont les complexes s'écrivant a + ib, a et b étant des entiers relatifs.

• Fermeture intégrale d'un sous-anneau B : dans un anneau commutatif unitaire intègre A contenant un sous-anneau B, la fermeture intégrale de B dans A est l'ensemble des éléments de A entiers sur B. C'est un sous-anneau de A contenant B comme sous-anneau.

Un anneau intégralement clos est un anneau commutatif unitaire intègre égal à sa fermeture intégrale dans son corps des fractions.

L'anneau des entiers relatifs est intégralement clos.

Plus généralement : un anneau factoriel est intégralement clos.

• Le centre Z(A) d'un anneau A est par définition Z(A)={x∈A / ∀y∈A, x.y=y.x}, c’est-à-dire l'ensemble des éléments qui commutent avec tous les autres pour la loi ".". C'est un sous-anneau.

• L'intersection de deux sous-anneaux d'un même anneau, est un sous-anneau.

• L'image d'un anneau par un homomorphisme d'anneau est un sous-anneau de l'anneau d'arrivée. (Si les anneaux sont unitaires, on impose aux morphismes de transformer unité en unité.)

Cependant, la structure de sous-anneau (excepté le cas d'un anneau dans son corps des fractions) est moins riche en résultats que celle d'idéal ou de module sur un anneau.

Plus intéressante que la structure de sous-anneau, la structure d'idéal s'apparente à celle de sous-groupe distingué dans un groupe.

Un idéal I (à droite ou à gauche) est un sous-groupe additif de A vérifiant

• pour tout x de I et tout a de A, ax ∈ I pour un idéal à droite
• pour tout x de I et tout a de A, xa ∈ I pour un idéal à gauche

Un idéal à droite et à gauche est appelé idéal bilatère.

Exemples

• {0} est un idéal bilatère de tout anneau, l'idéal nul.
• A est un idéal bilatère de A.
• Si a a un élément de l'anneau A, l'ensemble des multiples à droite de a (les éléments de la forme ax) est un idéal à droite de A. Il est noté (a).
• L'intersection de deux idéaux (resp. à gauche, resp. à droite) de A est un idéal de A (resp. à gauche, resp. à droite).

Anneaux quotients

Un idéal bilatère permet de créer un anneau quotient : le groupe quotient commutatif A/I peut être muni d'une multiplication associative et distributive par rapport à l'addtion, et donc d'une structure d'anneau.

Anneaux commutatifs définis par une propriété de leurs idéaux

Selon les propriétés des idéaux d'un anneau A, on distingue des familles d'anneaux particuliers:

• Anneau principal : anneau commutatif unitaire intègre dont tous les idéaux sont principaux.

Voir article détaillé : Anneau principal

Un anneau euclidien est principal

Un anneau principal est factoriel

• Anneau noethérien : anneau commutatif unitaire dont les idéaux sont engendrés par un nombre fini d'éléments

Voir article détaillé : Anneau noethérien

• Anneau artinien : anneau commutatif unitaire dont toute suite d'idéaux décroissante (pour l'inclusion) est stationnaire.

Voir article détaillé : Anneau artinien

• Anneau local : anneau commutatif unitaire dans lequel il n'existe qu'un seul idéal maximal.

• Anneau de Bézout : Anneau commutatif unitaire intègre dans lequel tout idéal de type fini est principal

• Anneau de Dedekind : Anneau noethérien intégralement clos dans lequel tout idéal premier non nul est maximal.

Voir article détaillé : Anneau de Dedekind

Une dérivation d'un anneau A à valeurs dans un A-module M est une application additive de A dans M $\mathrm{D}:A\mapsto M$ vérifiant l'identité de Leibniz :

Cette notion est en particulier vérifiée par la dérivée d'une fonction (de variable réelle, par exemple); elle en est une généralisation utilisée en géométrie algébrique et en calcul différentiel sur les variétés (par exemple pour définir le crochet de Lie). Toute application de dérivation vérifie la formule de Leibniz.

La théorie des anneaux étant une branche très riche de l'algèbre, il est difficile de se repérer dans la jungle des anneaux particuliers. Le schéma ci-dessous donne une illustration partielle de leur hiérarchie - une flèche fait passer du général au particulier.

On peut remarquer que l'anneau qui se détache de cette hiérarchie est l'anneau euclidien : c'est celui qui va posséder le plus de propriétés.