Anneau non commutatif de polynômes - Définition

Définition de la structure d'algèbre sur un anneau commutatif A

Si A est commutatif, la multiplication , définie via l'inclusion de A dans A[X], munit ce dernier d'une structure naturelle de A-module pour laquelle la multiplication est bilinéaire : (aP) * (bQ) = (ab)(P * Q) pour tout et (ici les multiplications internes de A[X] sont indiquées par " * " et les multiplications concernant A par juxtaposition ; comme cette règle implique en particulier 1p * b1 = 1bp * 1, pour , donc pb = bp, elle ne peut s'appliquer que lorsque A est commutatif). Ceci montre que dans ce cas, l'anneau A[X] est aussi une A-algèbre.

Divisions par X − u

Comme le coefficient dominant 1 du polynome X − u est évidemment inversible, les divisions à droite et à gauche sont possibles. Soient et . On a alors :

Théorème

Le reste de la division à gauche du polynôme P par X − u est égal à la valeur à droite P_d(u).

• Démonstration

Posons

On a P = Q(X − u) + R et en groupant les termes de même degré du second membre :

Si on remplace alors X par u dans le membre de droite (ce qui est bien le calcul de la valeur à droite) on constate immédiatement que les termes provenant du produit Q(X − u) s'annulent 2 à 2 et on obtient le résultat annoncé.

Remarquons que, lorsque u n'est pas central, on ne pouvait pas faire appel au théorème précédent et raisonner que P_d(u) = Q_d(u)(X − u)_d(u) + R = Q_d(u).0 + R = R. Mais en reprenant la preuve de ce théorème on peut justifier néanmoins cette formule. On observe que dans cette preuve on a écrit P[X: = u] sous la forme de la valeur à droite, et que la preuve n'a utilisé que la commutation de u avec les coefficients b_j du polynome à droite ; or, dans la formule considérée cette commutation est valable car les seuls coefficients du polynome X − u à droite sont b₁ = 1 et b₀ = u, qui commutent avec u.

On a le résultat symétrique :

Le reste de la division à droite du polynôme P par X − u est égal à la valeur à gauche P_g(u).

Corollaire

Le polynôme P est divisible à gauche par X − u si et seulement si P_d(u) = 0 et le polynôme P est divisible à droite par X − u si et seulement si P_g(u) = 0