Polynôme - Définition et Explications

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Introduction

Courbe polynomiale cubique

Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de puissances d'une ou de plusieurs indéterminées, habituellement notées X, Y, Z… Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée de toute fonction dérivable (voir développement limité) et permettent de représenter des formes lisses (voir l'article courbe de Bézier (Les courbes de Bézier sont des courbes polynomiales paramétriques décrites pour la première...), décrivant un cas particulier de fonction polynôme).

Un polynôme, en algèbre générale (L'algèbre abstraite, ou algèbre générale, ou encore algèbre universelle est la branche des...), à une indéterminée (En mathématiques, une indéterminée est le concept permettant de formaliser des...) sur un anneau unitaire est une expression de la forme :

 a_0 + a_1 X^1 + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n \,

X est un symbole appelé indéterminée du polynôme, supposé être distinct de tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) élément de l'anneau, et les coefficients ai sont dans l'anneau.

Si, en mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) appliquées, en analyse et en algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse...), il est fréquent de confondre le polynôme avec la fonction polynôme (En algèbre, une fonction polynôme, ou fonction polynomiale est définie comme étant une...), il n'en est pas de même en algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) générale. Cet article traite principalement du polynôme formel (En algèbre, le terme de polynôme formel, ou simplement polynôme, est le nom...) à une indéterminée.

Considérations historiques

L'histoire des polynômes (L'histoire des polynômes se confond avec celle de l'algèbre et celle de la résolution...) est inséparable de celle de l'algèbre. Initialement créés pour résoudre des équations, ils se trouvent confondus avec les fonctions polynômes. Au fur (Fur est une petite île danoise dans le Limfjord. Fur compte environ 900 hab. . L'île...) et à mesure que les recherches s'approfondissent, il se révèle nécessaire de distinguer plus nettement le polynôme formel de la fonction polynôme. Cette évolution se fait conjointement avec le développement de l'algèbre générale. Les coefficients quittent alors le domaine des nombres usuels, comme les réels ou les complexes pour appartenir à des anneaux commutatifs unitaires ou des corps quelconques. L'étude des polynômes formels ouvre la porte à celle des séries formelles.

Fonctions polynômes

À tout polynôme f(X) de A[X], on peut associer une fonction polynôme f d'ensemble de définition (En mathématiques, l' ensemble de définition D f  d'une fonction  f  dont l'...) et d'arrivée A. On obtient la valeur de cette fonction pour un argument donné a en remplaçant partout le symbole X dans f(X) par a. Les algébristes font une distinction entre un polynôme et une fonction polynomiale car, sur certains anneaux A (par exemple sur les corps finis), deux polynômes différents peuvent avoir la même fonction polynôme associée. Ceci n'est pas le cas sur le corps des réels ou des complexes et donc les « analystes » ne séparent pas les deux concepts.

Exemple : Sur le corps fini (En mathématiques et plus précisément en algèbre, un corps fini est un corps...)  \mathbb Z /_{\displaystyle 2 \mathbb Z}, le polynôme X + X2 est non nul, mais sa fonction polynôme associée l'est.

Morphisme d'évaluation : Plus généralement, dans un polynôme f(X), on peut remplacer le symbole X par n'importe quel élément x_0 \, appartenant à une algèbre E sur A. L'application qui, à tout polynôme f(X) dans A[X], associe l'élément  f ( x_0 ) \, de E (défini comme ci-dessus), est appelée morphisme d'évaluation en  x_0 \, de A[X] dans E et noté f. Un cas très fréquent est celui où A est un corps  \mathbb K \,, et E l'algèbre des matrices n × n sur  \mathbb K \,, ou bien l'algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) sur  \mathbb K \,. On définit ainsi des polynômes de matrices et d'endomorphismes :

 f ( M ) = a_n M^n + a_{n - 1} M^{n - 1} + \cdots + a_1 M + a_0 I_n \,
 f ( u ) = a_n u^n + a_{n - 1} u^{n - 1} + \cdots + a_1 u + a_0 Id_{\mathbb K} \,

On remarque que les deux polynômes ci-dessus sont différents mais que le morphisme d'évaluation qui leur est associée est identique. Ainsi f est un morphisme d'évaluation alors que f(u) est un polynôme d'endomorphismes, f(M) est un polynôme de matrices, et f(X) est un polynôme d'indéterminée X, plus sobrement appelé polynôme.

Une fonction polynômiale est la restriction de l'endomorphisme d'évaluation aux éléments du corps de base, ici A.

Page générée en 0.076 seconde(s) - site hébergé chez Contabo
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique