Cardinal mesurable - Définition
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Cardinaux mesurables, ultraproduits, et théorie des modèles
Les résultats les plus intéressants concernant les cardinaux mesurables furent obtenus (en 1961) par Jerome Keisler et Dana Scott, en utilisant la construction d'ultraproduits indexés par κ (et quotientés par l'ultrafiltre correspondant à une mesure, le plus souvent choisie normale). Ils montrèrent en particulier que κ est mesurable équivaut à ce que κ est le point critique d'un plongement élémentaire de l'univers V dans une classe transitive M, d'où l'on déduit facilement que κ est un grand cardinal, Mahlo, ineffable (en), Ramsey, etc. ; ces démonstrations sont souvent rendues plus faciles en utilisant des mesures normales (dont l'existence, elle, est assez délicate à montrer).
En utilisant l'existence d'une mesure normale sur κ, montrons que κ 1-inaccessible implique κ 2-inaccessible (et, par récurrence transfinie, que κ est hyper-inaccessible, puis Mahlo, etc.) Posons f(α) = le α-ème cardinal inaccessible (f est bien définie sur κ et strictement croissante, d'après l'hypothèse) et supposons que κ ne soit pas 2-inaccessible. Cela veut dire que l'ensemble des α tels que f(α) = α est borné, donc de mesure nulle. Il en résulte que f(α)<α presque partout, et donc, la mesure étant supposée normale, il existe un β tel que f(α)=β presque partout, ce qui est absurde.
Montrer que κ est 1-inaccessible est plus délicat ; cependant, une idée de démonstration pour montrer qu'il existe κ cardinaux fortement limites < κ consiste à remarquer qu'il existerait sinon β tel que pour tout cardinal α > β, on peut poser f(α)=λ, où λ est le plus petit cardinal < α tel que 2λ > α ; on conclue comme précédemment.
On démontre par ailleurs qu'une mesure est normale sur κ si et seulement si tout ensemble de mesure 1 est stationnaire (en) dans κ ; une caractérisation des mesures normales dans le langage des ultraproduits (et de l'analyse non-standard) est que si *f(*κ)<*κ, alors *f est constante (ici, *f est le prolongé de f à l'ultraproduit κκ/U, et *κ désigne la classe d'équivalence de la fonction identité).
