Ultrafiltre - Définition

Introduction

En mathématiques, et plus précisément en théorie des ensembles, un ultrafiltre sur un ensemble X est une collection de sous-ensembles de X qui est un filtre, et qui n'est pas contenue dans un filtre plus grand. On peut considérer un ultrafiltre comme étant une mesure (finiment additive), et alors tout sous-ensemble de X est, pour cette mesure, soit négligeable (de mesure 0), soit valant « presque tout » X (de mesure 1). Cette notion se généralise aux algèbres de Boole et aux ordres partiels, et a de nombreuses applications en théorie des modèles et en topologie.

Définition

Étant donné un ensemble X, un ultrafiltre sur X est un ensemble U formé de sous-ensembles de X tel que

1. L'ensemble vide n'est pas un élément de U
2. Si A et B sont des sous-ensembles de X, A est un sous-ensemble de B, et A est un élément de U, alors B est aussi un élément de U.
3. Si A et B sont des éléments de U, alors l'intersection de A et B l'est également.
4. Si A est un sous-ensemble de X, alors A ou son complémentaire X \ A est un élément de U. (Note: les axiomes 1 et 3 impliquent que A et X \ A ne peuvent être tous les deux éléments de U ; le ou de l'axiome 4 est un ou exclusif.)

Une caractérisation des ultrafiltres est donnée par le théorème suivant : un filtre U sur un ensemble X est un ultrafiltre si l'une des conditions suivantes est vraie :

1. Il n'y a pas de filtre F plus fin que U, entraîne U = F.
2. entraîne ou .
3. ou .

Une autre façon d'envisager les ultrafiltres sur X est de définir une fonction m sur l'ensemble des parties de X en posant m(A) = 1 si A est un élément de U et m(A) = 0 sinon. Alors m est une mesure finiment additive sur X, et (par rapport à m), toute propriété des éléments de X est soit vraie presque partout, soit fausse presque partout. Il faut remarquer que cela ne définit pas une mesure au sens usuel, lequel demande que m soit dénombrablement additive.

Généralisation aux ensembles partiellement ordonnés

Dans la théorie des ensembles ordonnés, un ultrafiltre est un sous-ensemble d'un ensemble partiellement ordonné E qui est maximal parmi tous les filtres propres (les sous-ensembles stricts de E, F, tels que si x appartient à F et x inférieur à y, y appartient à F). Un cas particulier important est celui d'une algèbre de Boole (comme c'est le cas pour les ultrafiltres sur un ensemble, considérés comme filtres sur l'ensemble des parties ordonné par l'inclusion). Dans ce cas, les ultrafiltres sont caractérisés par le fait de contenir, pour chaque élément a de l'algèbre, soit a, soit son complémentaire non-a (égal à 1-a).

Les ultrafiltres d'une algèbre de Boole sont associés aux idéaux premiers (qui dans ce cas sont également les idéaux maximaux), par l'intermédiaire des homomorphismes de l'algèbre vers le corps F₂ (noté ici {0 = faux,1 = vrai}), de la manière suivante.

• Étant donné un homomorphisme d'une algèbre de Boole vers {vrai, faux}, la pré-image de « vrai » est un ultrafiltre, et la pré-image de « faux » est un idéal maximal.
• Étant donné un idéal maximal d'une algèbre de Boole, son complémentaire est un ultrafiltre, et il y a un unique homomorphisme vers {vrai, faux} envoyant l'idéal sur « faux ».
• Étant donné un ultrafiltre d'une algèbre de Boole, son complémentaire est un idéal maximal, et il y a un unique homomorphisme vers {vrai, faux} envoyant l'ultrafiltre sur « vrai ».

Un autre théorème pourrait fournir une caractérisation alternative du concept d'ultrafiltre : soit B une algèbre de Boole et F un filtre non trivial (ne contenant pas 0). F est un ultrafiltre si, et seulement si,

pour tous , si , alors ou

pour éviter des confusions, les signes 0, sont utilisés pour noter les opérations de l'algèbre, tandis que les connecteurs logiques sont écrits en français.