Continuité
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Définition générale (espaces topologiques)

On donne deux définitions équivalentes dans le cas des espaces topologiques.

Définition locale

La définition locale (c'est-à-dire pour un point) de la continuité repose sur la notion mathématique de limite. Une fonction sera dite continue en un point (Graphie) a si sa limite en a est égale à sa valeur en a.

La notion de seuil utilisée pour les fonctions réelles est généralisée par la notion de voisinage : \mathcal{V}(a) désigne l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des voisinages de a, et \mathcal{V}\left(f(a)\right) ceux de f(a).

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) —  Soient E et F deux espaces topologiques, f : E\to F et a\in E.

La fonction f est dite continue en a si :

\forall W\in\mathcal{V}\left(f(a)\right) \quad \exists V\in\mathcal{V}(a) \quad \forall x\in V \quad f(x)\in W,

ou plus simplement :

\forall W\in\mathcal{V}(f(a)),\quad f^{-1}(W)\in\mathcal{V}(a),

ce qui équivaut aussi à :

pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ouvert O contenant f(a), f^{-1}(O)\in\mathcal{V}(a).

Ainsi f est continue au point a\, si et seulement si :

\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \,

La fonction f est dite continue (tout court, ou continue sur E\,) si et seulement si elle est continue en tout point de E\,.

La fonction f est dite continue sur une partie A\, de E\, si et seulement si elle est continue en tout point de A\,.

Caractérisations globales

On peut déduire de la définition locale trois caractérisations équivalentes des applications qui sont continues en tout point de l'espace de départ.

La première d'entre elles est qu'une application est continue (en tout point) si et seulement si l'image réciproque (L'image réciproque d'une partie B d'un ensemble Y par une application est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B : .) de tout ouvert de l'espace d'arrivée est un ouvert de l'espace de départ. La deuxième, analogue, s'écrit en termes de fermés. La troisième utilise les notions d'adhérence et d'image directe (L'image directe d'un sous-ensemble A de X par une application est le sous-ensemble de Y formé des éléments qui ont au moins un antécédent par f d'un élément de A :).

Le lien avec la notion intuitive est le suivant : quand une fonction « saute », cela signifie que des points très proches de l'espace de départ, se retrouvent sur des points très éloignés à l'arrivée. Or pour une application continue, ces sauts sont impossibles, car si on considère un point du départ et son image à l'arrivée, on sait que tout un voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales...) de ce point de départ doit arriver au voisinage du point d'arrivée !

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement...) —  Soient E et F deux espaces topologiques. Une application f : E\to F est continue en tout point de E si et seulement si elle vérifie l'une des trois propriétés équivalentes suivantes :

  1. pour tout ouvert O de F, f^{-1}(O)\, est un ouvert de E ;
  2. pour tout fermé G de F, f^{-1}(G)\, est un fermé de E ;
  3. pour toute partie A de E , f(\overline A)\subset\overline{f(A)}.
  • Les caractérisations 1 et 2 sont souvent utilisées, a contrario, pour montrer qu'un certain ensemble est ouvert (ou fermé) en faisant intervenir une application qu'on sait déjà être continue. Par exemple l'hyperbole \mathcal{H} = \left\{ (x,y)\in\R^2 \, | \, xy=1 \right\} \,\! peut être vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) comme l'image réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) de \{ 1 \} \,\! par l'application produit :
\begin{array}{cccc}\Pi : & \R^2 & \rightarrow & \R \\ & (x,y) & \mapsto & xy\end{array}

L'hyperbole \mathcal{H} = \Pi^{-1} \left( \{ 1 \} \right) \,\! est fermée car elle est l'image réciproque du singleton \{ 1 \} \,\! par l'application continue \Pi \,\!.

  • Ce théorème permet de montrer que si E est une réunion d'ouverts tels que la restriction de f à chacun de ces ouverts soit continue alors f est continue, et de même si E est réunion d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) fini de fermés tels que la restriction de f à chacun de ces fermés soit continue. Pour une réunion (même finie) de parties "quelconques" on n'a aucun résultat de ce genre.

Équivalence de la définition métrique et topologique

Un espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas...) (E,\,d) possède une topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) associée \tau \;. Un ouvert de \tau \; est un ensemble tel que pour tout point de l'ouvert, il existe une boule ouverte non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) et de centre le point incluse dans l'ouvert :

\forall \mathcal O \in \tau,\, \forall x \in \mathcal O,\, \exists \epsilon >0 \quad \mathcal B(x,\,\epsilon) \subset \mathcal O

Un voisinage \mathcal V(a) de a\, est un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il peut par contre y avoir des éléments de...) contenant un ouvert contenant a\,. Par conséquent il existe une boule ouverte non vide de centre a\, et incluse dans \mathcal V(a)

Les deux définitions de la continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations infinitésimales de la variable x, correspondent des...) d'une fonction par la topologie sont équivalentes. Si \tau'\; désigne la topologie associée à un espace métrique (E',\,d'), alors :

Propriété —  La fonction \ f de (E,\,d) dans (E',\,d') est continue en un point \ a de \ E si et seulement si elle est continue en ce point, considérée comme une fonction de (E,\,\tau) dans (E',\,\tau').

En effet, la fonction est continue en \ a du point de vue topologique si et seulement si :

\forall W\in\mathcal{V}\left(f(a)\right) \quad \exists V\in\mathcal{V}(a) \quad \forall x\in V \quad f(x)\in W

Par construction de la topologie, cette condition s'exprime :

  \forall \varepsilon > 0 \quad \exists \eta > 0  \quad \forall x\in \mathcal B(a,\eta) \quad f(x)\in \mathcal B(f(a),\varepsilon)
 \forall \varepsilon > 0 \quad \exists \eta > 0  \quad \forall x  \in E \quad d(x,a) \leq \eta \Rightarrow d'(f(x),f(a)) \leq \varepsilon

La dernière définition correspond exactement à celle de la continuité formalisée par les distances.

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