Image réciproque
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L'image réciproque d'une partie B d'un ensemble Y par une application f:X\rightarrow Y est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B : f^{-1}(B) = \{x \in X / f(x)\in B\}.

Exemple : Considérons l'application f:\{1, 2, 3\}\rightarrow \{a, b, c, d\}, définie par

1\mapsto a, \quad 2\mapsto c, \quad 3\mapsto d

L'image réciproque (L'image réciproque d'une partie B d'un ensemble Y par une application est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B : .) de {a,b} par f est f − 1({a,b}) = {1}.

Notons qu'avec cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.), f-1 devient une fonction dont l'ensemble de définition (En mathématiques, l' ensemble de définition D f  d'une fonction  f  dont l' ensemble de départ est noté  E  et l' ensemble d'arrivée  F , est l'ensemble des antécédents de f, c'est-à-dire...) est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) de toutes les parties de Y et dont l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des parties de X.

Mise en garde : Lorsque f est une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que...), il ne faut pas confondre cette opération sur les parties avec l'application réciproque (En mathématiques, une application réciproque est en des termes simples une fonction qui « fait exactement l'inverse de ce que fait une application donnée ». L'application réciproque...) f-1. Fort heureusement, l'image réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) par f s'identifie avec l'image directe (L'image directe d'un sous-ensemble A de X par une application est le sous-ensemble de Y formé des éléments qui ont au moins un antécédent par f d'un élément de A :) par f-1.

Propriétés élémentaires

  • Pour toutes parties B1 et B2 de Y,
f^{-1}\left(B_1 \cup B_2\right) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2).
f^{-1}\left(B_1 \cap B_2\right) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2).
  • pour toute partie B de Y, f(f^{-1}(B)) \subset  B.
\forall B\subset Y, f(f^{-1}(B)) =  B \Leftrightarrow f \ {\rm surjective}
  • pour toute partie A de X, A\subset f^{-1}(f(A))
\forall A\subset X, A = f^{-1}(f(A)) \Leftrightarrow f \ {\rm injective}
  • pour toutes parties A et B de Y,
f^{-1}\left(A\backslash B\right)=f^{-1}(A)\backslash f^{-1}(B)
  • Pour toute famille \left(B_i\right)_{i\in I} de parties de Y,
f^{-1}\left(\bigcap_{i\in I}B_i\right)= \bigcap_{i\in I}f^{-1}(B_i)
f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}B_i\right)= \bigcup_{i\in I}f^{-1}(B_i)

Nous disons en général qu' " avec l'image réciproque tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) est possible ".

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