Définition dans le cas des espaces métriques

Définition

Ainsi f est continue en a si et seulement si la limite de f en a existe et vaut f(a).

Exemples

• Une application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition des vecteurs et la...) d'un espace vectoriel normé (Un espace vectoriel normé est une des structures importantes rencontrées en analyse, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle. Développée notamment par...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) finie vers un autre espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) normé est continue.
• Une application linéaire d'un espace vectoriel normé vers un autre est continue si et seulement si elle est bornée sur la boule unité (En topologie, une boule est un sous-ensemble particulier d'un espace métrique. Le nom évoque, à juste titre, un objet familier dans et plus généralement dans...).

Et en effet, le cas non borné se présente en dimension infinie : considérons comme application linéaire la dérivation sur , l'espace des polynômes réels, où la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à suivre. Ce terme...) d'un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une...) est la somme des valeurs absolues de ses coefficients. Prenons la famille de polynômes . Tous ces polynômes sont de norme 1. Pourtant leurs dérivées sont de la forme nX^{n − 1}, donc de norme n avec n arbitrairement grand. Donc la famille des dérivées n'est pas bornée, et la dérivation n'est pas une application continue.

Notion de continuité dans l'histoire

La continuité n'a pas toujours été définie de la façon précédente.

Euler dans son introductio in analysin infinitorum définit la fonction continue comme une fonction définie par une seule expression analytique finie ou infinie (série entière) et appelle fonctions discontinues ou mixtes celles possédant plusieurs expressions analytiques suivant les intervalles. Sylvestre Lacroix (1810) appelle fonction continue une fonction dont toutes les valeurs sont définies à partir d'une même loi ou dépendent d'une même équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines...). Cette notion de continuité s'appelle la continuité eulérienne et est plus restrictive que la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) actuelle. Par exemple, la fonction définie pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) réel négatif par f(x) = x et tout réel positif par f(x) = x² est continue au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement,...) actuel et mixte (discontinue) au sens d'Euler.

La définition que nous utilisons aujourd'hui est celle donné par Bernard Bolzano dans sa théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation ou...) des fonctions : « La fonction f(x) varie suivant la loi de continuité pour la valeur x si la différence |f(x + w) - f(x)| peut-être rendue plus petite que toute valeur donnée ».(Prague 1816).

Augustin Louis Cauchy dans son cours d'analyse de l'école royale polytechnique, définit la continuité en x par f est continue en x si la valeur numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par...) de la différence f(x + a) - f(x) décroit indéfiniment avec celle de a, utilisant ainsi les notions des infiniment petits.

Une autre définition de la continuité, inspirée de celle de Cauchy est de dire que f est continue en a si pour tout suite (x_n) convergeant vers a, la suite f(x_n) converge vers f(a). Cette définition de la continuité par les suites n'est équivalente à celle actuellement en vigueur que si l'on admet l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable qui doit...) du choix.

Malgré cette définition formelle, l'utilisation de la continuité reste au début du XIX^e siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33...) grandement intuitive quand on voit Cauchy tenir le raisonnement suivant, pour démontrer le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème...) des valeurs intermédiaires : « La fonction f étant continue entre les points x0 et X, la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments,...) qui a pour équation y=f(x) sera continue entre les points (x0, f(x0) et (X,f(X)) et la droite d'équation y=b qui passera entre les ordonnées f(x0) et f(X) ne peut que rencontrer dans l'intervalle la courbe mentionnée. »

Il existe aussi une notion de continuité plus forte : la continuité uniforme (En topologie, la continuité uniforme est une définition plus contraignante que la continuité, et se définit dans les espaces métriques ou les espaces uniformes. Contrairement à...) dans laquelle la distance |f(x) - f(x')| peut être rendue aussi petite que l'on veut pour n'importe quel couple (x, x') tels que la distance |x - x'| soit suffisamment faible. Contrairement à la continuité classique (continuité en un point (Graphie) a fixé), la continuité uniforme assure que la majoration est vraie sans avoir besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes catégories : les besoins primaires, les besoins...) de fixer a. Cette notion fut précisée par Edouard Heine en 1872.