Définition — Soient et
deux espaces métriques,
et
.
On dit que l'application f est continue en a si :
Ainsi f est continue en a si et seulement si la limite de f en a existe et vaut f(a).
La continuité n'a pas toujours été définie de la façon précédente.
Euler dans son introductio in analysin infinitorum définit la fonction continue comme une fonction définie par une seule expression analytique finie ou infinie (série entière) et appelle fonctions discontinues ou mixtes celles possédant plusieurs expressions analytiques suivant les intervalles. Sylvestre Lacroix (1810) appelle fonction continue une fonction dont toutes les valeurs sont définies à partir d'une même loi ou dépendent d'une même équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...). Cette notion de continuité s'appelle la continuité eulérienne et est plus restrictive que la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) actuelle. Par exemple, la fonction définie pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) réel négatif par f(x) = x et tout réel positif par f(x) = x2 est continue au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) actuel et mixte (discontinue) au sens d'Euler.
La définition que nous utilisons aujourd'hui est celle donné par Bernard Bolzano dans sa théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) des fonctions : « La fonction f(x) varie suivant la loi de continuité pour la valeur x si la différence |f(x + w) - f(x)| peut-être rendue plus petite que toute valeur donnée ».(Prague 1816).
Augustin Louis Cauchy (Augustin Louis, baron Cauchy, né à Paris le 21 août 1789 et mort à...) dans son cours d'analyse de l'école royale polytechnique, définit la continuité en x par f est continue en x si la valeur numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information...) de la différence f(x + a) - f(x) décroit indéfiniment avec celle de a, utilisant ainsi les notions des infiniment petits.
Une autre définition de la continuité, inspirée de celle de Cauchy est de dire que f est continue en a si pour tout suite (xn) convergeant vers a, la suite f(xn) converge vers f(a). Cette définition de la continuité par les suites n'est équivalente à celle actuellement en vigueur que si l'on admet l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma,...) du choix.
Malgré cette définition formelle, l'utilisation de la continuité reste au début du XIXe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui...) grandement intuitive quand on voit Cauchy tenir le raisonnement suivant, pour démontrer le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) des valeurs intermédiaires : « La fonction f étant continue entre les points x0 et X, la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...) qui a pour équation y=f(x) sera continue entre les points (x0, f(x0) et (X,f(X)) et la droite d'équation y=b qui passera entre les ordonnées f(x0) et f(X) ne peut que rencontrer dans l'intervalle la courbe mentionnée. »
Il existe aussi une notion de continuité plus forte : la continuité uniforme (En topologie, la continuité uniforme est une définition plus contraignante que la continuité, et...) dans laquelle la distance |f(x) - f(x')| peut être rendue aussi petite que l'on veut pour n'importe quel couple (x, x') tels que la distance |x - x'| soit suffisamment faible. Contrairement à la continuité classique (continuité en un point (Graphie) a fixé), la continuité uniforme assure que la majoration est vraie sans avoir besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est...) de fixer a. Cette notion fut précisée par Edouard Heine en 1872.