Addition
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Introduction

Une addition très simple.

L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs, les aires (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.), ou les volumes. En particulier en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien,...), l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les...) de deux grandeurs ne peut s'effectuer numériquement que si ces grandeurs sont exprimées avec la même unité de mesure (En physique et en métrologie, les unités sont des étalons pour la mesure de grandeurs physiques qui ont besoin de définitions précises pour être utiles. Les systèmes...). Le résultat d'une addition est appelé une somme.

En mathématiques, l'addition est développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille des droites normales à la courbe.) sur les ensembles de nombres usuels mais se définit aussi pour d' comme les vecteurs et les fonctions.

Par analogie, on appelle addition la loi de composition interne (L’algèbre est la branche des mathématiques qui s’intéresse aux ensembles et aux opérations qui peuvent s’y effectuer. Elle recherche les conséquences générales qui découlent des propriétés de...) des espaces vectoriels et de certains groupes abéliens. D' mathématiques sont également munies d'opérations binaires appelées additions, mais qui ne satisfont pas toujours les de l'addition usuelle.

La Pascaline, première machine à calculer, ne pouvait effectuer que des additions.

Conception

Réunion de quantités

1 + 1 = 2
Commutativité de l'addition

L'addition se conçoit d'abord comme le dénombrement d'une réunion de collections d'objets, à trois conditions :

  • D'une part, ces objets ne doivent pas perdre leur individualité quand on les réunit, comme le feraient des liquides ou des boules soit par un comptage, soit par un calcul mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...) sur les nombres décrivant les quantités de départ.

De même, pour que l'addition puisse décrire la réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située dans l'archipel des Mascareignes à environ 700 kilomètres à l'est de Madagascar et à 170 kilomètres au sud-ouest de...) d'objets fractionnaires, comme des portions de cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle....) ou des figures géométriques (Les figures géométriques sont un mode d'expression décoratif développé par les civilisations anciennes, basé sur la répétition de figures et motifs suivant un tracé géométrique...) tracées sur un quadrillage, il faut que tous les objets soient évalués à partir d'une sous-division commune, une brique élémentaire. Mathématiquement, cette condition s'interprète comme la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension...) d'un dénominateur commun à plusieurs fractions.

Certaines grandeurs physiques, mais aussi ou économiques, peuvent également s'additionner par la réunion des objets sur lesquels elles sont mesurées. Mais ces grandeurs doivent alors être évaluées relativement à une unité de mesure commune.

Bilan de variations

L'addition peut mettre en jeu des nombres négatifs en apparaissant comme le bilan des variations ou des déplacements successifs le long d'un axe orienté. Chaque terme est alors muni d'un signe indiquant son sens : positif pour un gain, une augmentation ou un déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la valeur, et finalement le sens En...) dans le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par...) de l'axe ; négatif pour une perte, une diminution ou un déplacement dans le sens contraire à celui de l'axe. Le résultat de l'opération est alors appelé une « somme algébrique ».

Les variations peuvent là encore concerner des quantités entières ou fractionnaires, ou n'importe quelle grandeur mesurée.

Par exemple, l'addition de − 5 et + 2 traduit une perte de cinq unités et le gain de deux unités. Le résultat de l'addition, − 3, correspond à la variation globale du nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'unités : trois unités ont été perdues.

Cette conception peut être étendue pour définir l' par juxtaposition de déplacements ou translations, en n'imposant plus qu'ils se fassent le long d'un même axe.

Construction formelle

La formalisation mathématique des nombres entiers naturels privilégie cependant une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les...) ordinale de l'addition, par récurrence. Ainsi, partant de la seule opération « ajouter un », l'addition des nombres 3 et 2 se conçoit sous la forme « 3 auquel on ajoute un par deux fois » (3+1+1). Dans ce contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui...), les propriétés de commutativité et d'associativité ne sont alors plus du tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) évidentes et doivent être démontrées.

À partir de l'addition des entiers naturels, sont construites successivement les additions des entiers relatifs, des rationnels, des réels et des complexes. (Cet ordre ne reflète pas l'ordre chronologique avec lequel sont apparus ces ensembles de nombres.)

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