Équation de Dirac - Définition

Formulation mathématique

Sa formulation exacte est :

où m est la masse de la particule, c la vitesse de la lumière, la constante de Planck réduite, x et t les coordonnées dans l'espace et dans le temps, et ψ(x, t) une fonction d'onde à quatre composantes. (La fonction d'onde doit être formulée par un spineur à quatre composants, plutôt que par un simple scalaire, du fait des exigences de la relativité restreinte.) Enfin sont des matrices de dimension agissant sur le spineur et appelées matrices de Dirac. En termes des matrices de Pauli on peut écrire les matrices de Dirac, dans la représentation de Dirac (d'autres sont possibles, comme la représentation de Weyl ou la représentation de Majorana), sous la forme

Il est commun en mécanique quantique de considérer l'opérateur quantité de mouvement et dans ce cas l'équation de Dirac se réécrit de façon condensée

De plus, il est naturel de chercher une formulation covariante, ce qu'on fait en posant γ⁰ = γ₀ = α₀ et γⁱ = − γ_i = α₀α_i, auquel cas on a (en adoptant les conventions c=1 et ) une notation encore plus compacte :

où l'on a adopté la notation de Feynman