Groupe de type de Lie - Définition

Introduction

En mathématiques, un groupe de type de Lie G(k) est un groupe (non nécessairement fini) de points rationnels d'un groupe algébrique linéaire réductif (en) G à valeur dans le corps k. La classification des groupes simples finis montre que les groupes de types de Lie finis forment l'essentiel des groupes finis simples. Des cas particuliers incluent les groupes classiques, les groupes de Chevalley, les groupes de Steinberg et les groupes de Suzuki-Ree.

Les groupes classiques

Une approche initiale est la définition et l'étude détaillée de ce que l'on appelle les groupes classiques sur des corps finis et autres. Beaucoup de travaux ont été réalisés la-dessus, à partir de l'époque de L. E. Dickson jusqu'à l'ouvrage de Jean Dieudonné. Par exemple, Emil Artin a étudié les ordres de tels groupes, en vue de classifier les cas de coïncidence.

Un groupe classique est, de manière grossière, un groupe spécial linéaire, orthogonal, symplectique ou unitaire. Il existe plusieurs variations mineures de ceux-ci, obtenues en prenant des sous-groupes dérivés ou des quotients par le centre. Ils peuvent être construits sur les corps finis (ou tout autre corps) plus ou moins de la même façon qu'ils ont été construits sur les nombres réels. Ils correspondent aux séries :

, , , , , des groupes de Chevalley et Steinberg.

Les groupes de Steinberg

La construction de Chevalley ne donnait pas tous les groupes classiques connus : elle omettait les groupes unitaires et les groupes orthogonaux non séparés. Steinberg trouva une modification de la construction de Chevalley qui donne ces groupes et quelques nouvelles familles. Sa construction est similaire à la construction habituelle du groupe unitaire à partir du groupe général linéaire. Le groupe général linéaire sur les nombres complexes possède deux automorphismes qui commutent : un "automorphisme du diagramme" donné en prenant la transposée de l'inverse, et un "automorphisme de corps" donné en prenant la conjugaison complexe. Le groupe unitaire est le groupe des point fixes du produit de ces deux automorphismes. De la même manière, beaucoup de groupes de Chevalley ont des "automorphismes de diagramme" induits par les automorphismes de leurs diagrammes de Dynkin et des "automorphismes de corps" induits par les automorphismes d'un corps fini. Steinberg a construit des familles de groupes en prenant des points fixes d'un produit d'un automorphisme de diagramme et d'un automorphisme de corps. Ceux-ci donnèrent

• les groupes unitaires provenant de l'automorphisme d'ordre 2 de ;
• de nouveaux groupes orthogonaux provenant de l'automorphisme d'ordre 2 de ;
• la nouvelle série , provenant de l'automorphisme d'ordre 2 de ;
• la nouvelle série , provenant de l'automorphisme d'ordre 3 de .

(Les groupes de type n'ont pas d'analogue sur les réels, car les nombres complexes n'ont pas d'automorphisme d'ordre 3.)

Les groupes de Chevalley

La théorie a été clarifiée par la théorie des groupes algébriques et par le travail de Claude Chevalley, dans le milieu des années 50, sur les algèbres de Lie au moyen duquel le concept de groupe de Chevalley a été isolé. Chevalley a construit une base de Chevalley (en) (une sorte de forme intégrale) pour toutes les algèbres de Lie simples complexes (ou plutôt de leurs algèbres enveloppantes), qui peuvent être utilisées pour définir les groupes algébriques correspondants sur les entiers. En particulier, il a pu prendre leurs points à valeurs dans tout corps fini. Pour les algèbres de Lie , , , ceci donnait les groupes classiques bien connus, mais sa construction donna aussi les groupes associés aux algèbres de Lie exceptionnelles

, , , et . (Certains de ceux-ci avaient déjà été construits par Dickson.)