Indice de pouvoir de Banzhaf - Définition

Introduction

L’'indice de pouvoir de Banzhaf, nommée d'après John F. Banzhaf III, bien qu'à l'origine inventé par Penrose et parfois appelé indice de Penrose-Banzhaf, est un indice de pouvoir défini par la probabilité du changement des résultats d'un scrutin où les droits de vote ne sont pas nécessairement partagés également entre les électeurs.

Modélisation informatique de l’indice de pouvoir de Banzhaf.

Pour calculer le pouvoir d'un électeur en utilisant l'indice de Banzhaf, il faut recenser toutes les coalitions gagnantes, puis compter les électeurs critiques : un électeur critique est un électeur qui, si il a changé son vote de oui en non, entraînerait le rejet de la proposition soumise au vote. Le pouvoir d'un électeur est défini comme la fraction de tous les votes critiques qu'il pouvait exprimer.

L'indice est également connu sous le nom d’indice de Banzhaf-Coleman.

Exemples

Un jeu de vote simple, tiré de Game Theory and Strategy par Phillip D. Straffin:
[6, 4, 3, 2, 1]

Les chiffres entre parenthèses signifient qu’une proposition nécessite 6 voix pour être adopter, que l’électeur A dispose de quatre voix, l’électeur de trois voix, l’électeur C de deux voix, et l’électeur D d’une voix. Les groupes gagnants, où ont été surlignés en gras les électeurs décisifs, sont les suivants :
AB, AC, ABC, ABD, ACD, BCD, ABCD

Il y a au total 12 votes décisifs, si bien qu’avec l'indice Banzhaf, le pouvoir est réparti de la manière suivante :

Considérons le collège électoral pour l’élection présidentielle américaine. Chaque État a un nombre de grands électeurs déterminé par l’importance de sa population avec un seuil de voix minimum pour tous les états.
Il y a 538 grands électeurs au total.
La majorité requise pour élire le président est de 270 voix.
L’indice de pouvoir de Banzhaf peut être interprété comme une représentation mathématique de la probabilité qu'a un seul État d’être en mesure de faire basculer le vote.
Un État tel que la Californie, qui dispose de 55 grands électeurs, est plus susceptible de faire basculer le vote qu'un État comme le Montana, qui ne compte que trois grands électeurs.

Aux États-Unis, le vote à l’élection présidentielle se fait entre un Républicain et un Démocrate.
Pour simplifier, supposons que seuls trois États y participent : la Californie (55 grands électeurs), Texas (34 grands électeurs), et New York (31 grands électeurs).

Les résultats possibles de l'élection sont les suivants :

L’indice de pouvoir de Banzhaf d'un État est la proportion des résultats possibles dans lequel cet État peut faire basculer l'élection.
Dans cet exemple, les trois États ont le même indice : 4 / 12 ou 1 / 3.

Toutefois, si New York est remplacé par l'Ohio, avec seulement 20 grands électeurs, la situation change radicalement :

Dans cet exemple, l'indice de Banzhaf donne à la Californie 1 et aux autres États 0, puisque la Californie à elle seule dispose de plus de la moitié des voix.