Logique mathématique - Définition

La théorie des ensembles

La théorie des ensembles est à la base de nombreuses théories mathématiques. Outre les symboles de logique énumérés précédemment, cette théorie utilise des autres symboles = et ∈ permettant de mettre des objets mathématiques en relation. Les objets mathématiques sont appelés des ensembles.

L’égalité

Le signe de l’égalité se note

=

et représente la relation d’égalité entre objets mathématiques.

Nous nous contenterons de la définition intuitive :

Soient a et b deux objets. a = b signifie que a et b représentent des objets identiques, et se lit « a est égal à b »

≠ est définie par a ≠ b si ¬(a = b)

Propriétés :

• (∀ x) (x = x) vraie (réflexivité de =)
• (∀ x) (∀ y) ( (x = y) ⇔ (y = x) ) vraie (symétrie de =)
• (∀ x) (∀ y) (∀ z) ( ((x = y) ∧ (y = z)) ⇒ (x = z) ) (transitivité de =)

La relation = étant réflexive, symétrique et transitive, on dit que la relation = est une relation d'équivalence

• Soit P(x) une propriété contenant une variable libre x. Soient a et b des constantes d'individu telles que a = b. Alors les propositions P(a) et P(b) (obtenues en remplaçant respectivement x par a et x par b dans P(x)) sont équivalentes.

• Soit F(x) une fonction contenant une variable libre x. Soient a et b des constantes d'individu telles que a = b. Alors les propositions F(a) et F(b) (obtenues en remplaçant respectivement x par a et x par b dans F(x)) sont égales.

Ces deux dernières propriétés expriment intuitivement que = est la plus fine des relations d'équivalence.

L’appartenance

Le signe de l’appartenance se note :

∈

et représente la relation d’appartenance d’un objet à un autre.

Si a et b sont deux objets a ∈ b se lit :

« a appartient à b »

ou encore

« a est élément de b »

∉ se définit par a ∉ b si ¬(a ∈ b) vraie.

a ∉ b se lit « a n’appartient pas à b »

Théorème :

Soient a et b deux objets mathématiques.

a = b ⇔ ( (∀x) (x ∈ a ⇔ x ∈ b) )

Pour les règles d'utilisation de ces symboles, reportez-vous à l'article langage formel mathématique.