Logique mathématique - Définition
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Le calcul des propositions
Les propositions sont des assemblages de symboles et de lettres formés en suivant certaines règles de syntaxe. Les symboles de base du calcul des propositions sont appelés connecteurs, ils servent essentiellement à créer de nouvelles propositions à partir de propositions déjà créées. Dans le calcul des propositions, les propositions de base que l'on appelle aussi les variables propositionnelles n'ont pas de contenu (n'ont pas de signification) a priori. On peut remplacer une variable propositionnelle par «il pleut», mais ce n'est pas le contenu météorologique qui intéresse le logicien, mais la façon dont les propositions de base sont combinées pour construire des raisonnements.
Connecteurs les plus fréquents
Les connecteurs sont présentés avec leur interprétation en logique classique.
- La disjonction
La disjonction de deux propositions P et Q est la proposition notée P ∨ Q ou « P ou Q » qui est vraie si l’une au moins des deux propositions est vraie, et fausse si les deux propositions sont fausses.
- La négation
La négation d’une proposition P, est la proposition notée ¬P, ou « non P » qui est vraie lorsque P est fausse et fausse lorsque P est vraie.
À partir de ces deux connecteurs, on peut construire d’autres connecteurs ou abréviations utiles :
- La conjonction
La conjonction de deux propositions P et Q est la proposition suivante :
-
- ¬((¬P) ∨ (¬Q)) c'est-à-dire non ( (non P) ou (non Q) )
Celle-ci est notée P ∧ Q ou « P et Q » et n’est vraie que lorsque P et Q sont vraies et fausse si l’une des deux propositions est fausse.
- L'implication
L'implication de Q par P est la proposition (¬P) ∨ Q, notée « P ⇒ Q » ou « P implique Q », et qui est fausse seulement si P est une proposition vraie et Q fausse.
- L'équivalence
L'équivalence logique de P et Q est la proposition ( (P ⇒ Q) ∧ ( Q ⇒ P) ) ( ((P implique Q) et (Q implique P) )), notée « P ⇔ Q » ou (P est équivalent à Q), et qui n'est vraie que si les deux propositions P et Q ont même valeur de vérité.
- Le ou exclusif
Le ou exclusif ou disjonction exclusive de P et Q est la proposition P ∨∨ Q (parfois aussi notée P ⊕ Q ou encore P | Q) qui correspond à (P ∨ Q) ∧ ¬(P ∧ Q), c'est-à-dire en français: soit P, soit Q (mais pas les deux à la fois). Le ou exclusif de P et Q correspond à P ⇔ ¬Q ou encore à ¬(P ⇔ Q). Cette proposition n'est vraie que si P et Q ont des valeurs de vérités distinctes.
En logique classique un unique connecteur suffit
Une caractéristique du calcul propositionnel dit « classique » est que toutes les propositions envisageables peuvent s'exprimer à partir de deux connecteurs : par exemple ∨ et ¬ (ou et non). Mais d'autres choix sont possibles : ainsi, ⇒ (implication) et ⊥ (faux). On sait aussi que l'on peut aussi n'utiliser qu'un seul connecteur, le symbole de Sheffer « | » (Henry M. Sheffer, 1913), appelé « stroke » par son concepteur et appelé aujourd'hui Nand et noté
Le premier article porte sur les aspects de logique mathématique, tandis que le second porte sur les aspects pragmatiques tels qu'ils sont vus par les électroniciens.
