Nombre et supernombre de Poulet - Définition

Introduction

Un test de primalité courant pour un nombre impair n consiste à tester si n divise 2 ⁿ - 2 : dans le cas contraire, en vertu du petit théorème de Fermat, on conclut que n n'est pas premier. Cependant il existe des nombres composés qui passent ce test avec succès : on les appelle nombres pseudopremiers en base 2, ou encore nombres de Poulet, ou, également, nombres de Sarrus.

• Un nombre composé n est donc un nombre de Poulet si n divise 2 ⁿ - 2.

• Un supernombre de Poulet est un nombre dont chaque diviseur composé est un nombre de Poulet.

Un nombre composé n est donc un nombre de Poulet si tout diviseur d de n divise 2 ^d - 2. Si un tel diviseur d est composé, d est lui-même un supernombre de Poulet.

Exemples

Par exemple, 341 est un supernombre de Poulet : ses diviseurs positifs sont {1, 11, 31, 341} et on a :

Il est trivial que tous les nombres de Poulet n'ayant que deux facteurs premiers sont des supernombres de Poulet; c'est le cas de 341.

Premiers nombres et supernombres de Poulet

Les premiers nombres et supernombres de Poulet et leur décomposition sont présentés dans les tables qui suivent :

Notez que les supernombres de Poulet présentés ici sont tous des nombres de Poulet à deux facteurs premiers.

Supernombres de Poulet à plus de deux facteurs premiers

On peut construire des supernombres de Poulet à trois facteurs premiers de la façon suivante :

• si p₁ , p₂ , p₃ sont trois nombres premiers distincts tels que p₁ p₂ , p₁ p₃ , et p₂ p₃ sont des supernombres de Poulet, alors p₁ p₂ p₃ est un supernombre de Poulet.

Par exemple, il est facile de lire dans le tableau ci-dessus que les nombres premiers 37, 73 et 109 conviennent. Leur produit : 294409 = 37×73×109 est un supernombre de Poulet.

On a également la généralisation suivante :

• Si p₁ , p₂ ,..., p_n sont n nombres premiers distincts tels que tous les produits p_i p_j (avec i différent de j) sont des supernombres de Poulet, alors le produit p₁ p₂ ... p_n est un supernombre de Poulet.

D'après la caractérisation donnée plus haut pour les nombres de Poulet à deux facteurs premiers, l'hypothèse peut se reformuler ainsi :

(pour i = j, c'est le petit théorème de Fermat.)

La preuve est par récurrence sur n.

Commençons par le cas n = 3. Les diviseurs composés stricts de sont des nombres de Poulet par hypothèse. Il reste à montrer que également.

On a

Les p_i jouant un rôle symmétrique, on a de la même façon

Les p_i étant des nombres premiers distincts, on en conclut que

Ceci conclut le cas n = 3.

Passons au cas général. L'hypothèse de récurrence entraîne de façon immédiate que tous les diviseurs composés stricts de sont des nombres de Poulet. Il reste à vérifier que est lui-même un nombre de Poulet. La preuve faite dans le cas n = 3 est facilement généralisable.

 

Sept, huit facteurs premiers, et plus encore

Les familles de nombres premiers qui suivent permettent d'obtenir des nombres de Poulet avec jusqu'à sept facteurs premiers distints :

• 103, 307, 2143, 2857, 6529, 11119, 131071
• 709, 2833, 3541, 12037, 31153, 174877, 184081
• 1861, 5581, 11161, 26041, 37201, 87421, 102301 (*)
• 6421, 12841, 51361, 57781, 115561, 192601, 205441

Ces familles ci permettent d'aller jusqu'à huit facteurs premiers distincts :

• 1861, 5581, 11161, 26041, 37201, 87421, 102301, 316201 (*)
• 2383, 6353, 13499, 50023, 53993, 202471, 321571, 476401
• 2053, 8209, 16417, 57457, 246241, 262657, 279073, 525313
• 1801, 8101, 54001, 63901, 100801, 115201, 617401, 695701

Notez la parenté entre les deux lignes marquées (*) ci-dessus ! Cette liste de nombres premiers peut en fait être poursuivie jusqu'à vingt-deux nombres premiers disctincts :

• 1861, 5581, 11161, 26041, 37201, 87421, 102301, 316201, 4242661, 52597081, 364831561, 2903110321, 8973817381, 11292210661, 76712902561, 103410510721501, 29126056043168521, 3843336736934094661, 24865899693834809641, 57805828745692758010628581, 9767813704995838737083111101, 934679543354395459765322784642019625339542212601

Facteurs carrés

Il existe aussi des supernombres de Poulet qui ont des facteurs carrés : en particulier, les carrés des nombres de Wieferich. On peut définir les nombres de Wieferich comme des nombres premiers p tels que p² est un supernombre de Poulet ; on n'en connait que deux, p = 1093 et p = 3511. Ainsi, 1093² , 3511² sont des supernombres de Poulet, mais aussi 1093² × 4733, et d'autres.