Principe variationnel - Définition
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Principe de Gauss ou principe de moindre courbure
![](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/1200px/c/carl-friedrich-gauss_0d8d6d3b6011a214e6fa4cdbc0b96c6f.jpg")
Principe de Maupertuis ou principe de moindre action
![](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/1200px/p/pierrelouismaupertuis_f75b249725065a8f818ad860f1149687.jpg")
Le principe de moindre action de Maupertuis est la forme particulière que prend le principe de Hamilton pour les systèmes conservatifs à liaisons holonomes indépendantes du temps. Sous ces conditions, le potentiel s'écrit
et l'énergie cinétique devient
Dans ce cas, l'intégrale d'énergie prend la forme
et on en tire
ainsi que
![\mathcal{H} = \sum_k p_k \dfrac{dq_k}{dt} - \mathcal{L} = \sum_k \left[ \dfrac{ \partial T}{\partial \dot{q}_k} \right] \dfrac{dq_k}{dt} - \mathcal{L} = 2T - \mathcal{L} = T + V = \mathcal{E}](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/6/6572b64a0a6d2fed5d48191b3b775490_89c0a59a59391c58786dd3cb21ed8b7a.png)
Équations d'Hamilton
Soit 
la fonction de Hamilton du système, les équations canoniques de Hamilton s'écrivent alors:
Pour un système à g degrés de liberté, la fonction de Hamilton est une fonction des coordonnées généralisées qi du système, de ses moments généralisés pi tel que 
et du temps t:
est la transformée de Legendre du lagrangien. Sa différentielle s'écrit:
Comparaison entre mécanique rationnelle et optique géométrique
On peut consulter à ce sujet l'analogie entre l'optique et la mécanique.
Équation d'Hamilton-Jacobi
L'équation d'Hamilton-Jacobi s'écrit:
Théorème de Liouville
![](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/1200px/j/joseph-liouville_a01fc77aced2cb80169d295d99d46466.jpeg")