Principe variationnel - Définition

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- Introduction - Principe de Fermat - Principe de Hamilton ou principe de moindre action de Lagrange - Fonction de Hamilton ou Hamiltonien - Principe de Gauss ou principe de moindre courbure - Principe de Maupertuis ou principe de moindre action - Équations d'Hamilton - Comparaison entre mécanique rationnelle et optique géométrique - Équation d'Hamilton-Jacobi - Théorème de Liouville

Principe de Gauss ou principe de moindre courbure

Carl Friedrich Gauss (1777–1855)

Principe de Maupertuis ou principe de moindre action

Pierre Louis de Maupertuis (1698–1759)

Le principe de moindre action de Maupertuis est la forme particulière que prend le principe de Hamilton pour les systèmes conservatifs à liaisons holonomes indépendantes du temps. Sous ces conditions, le potentiel s'écrit

$V = V ( q_k ) \; \; \; \; avec \; \; k=1,2, ..., f$

et l'énergie cinétique devient

$T = \frac{1}{2} \sum_{i,j} a_{i,j} ( q_k ) . \dfrac{dq_i}{dt} . \dfrac{dq_j}{dt} \; \; \; \; avec \; \; i,j,k=1, 2, ..., f$

Dans ce cas, l'intégrale d'énergie prend la forme

$\mathcal{E} = T + V = constante$

et on en tire

$\mathcal{L} = T - V = 2T - \mathcal{E}$

ainsi que

$\mathcal{H} = \sum_k p_k \dfrac{dq_k}{dt} - \mathcal{L} = \sum_k \left[ \dfrac{ \partial T}{\partial \dot{q}_k} \right] \dfrac{dq_k}{dt} - \mathcal{L} = 2T - \mathcal{L} = T + V = \mathcal{E}$

Équations d'Hamilton

Soit $\mathcal{H}$ la fonction de Hamilton du système, les équations canoniques de Hamilton s'écrivent alors:

$\dot{q}_i = \dfrac{ \partial \mathcal{H} }{\partial p_i}, \;\;\;\; \dot{p}_i = - \dfrac{ \partial \mathcal{H} }{ \partial q_i } , \;\;\;\; \dfrac{\partial \mathcal{L} }{ \partial t } = - \dfrac{ \partial \mathcal{H} }{ \partial t }$

Pour un système à g degrés de liberté, la fonction de Hamilton $\mathcal{H}$ est une fonction des coordonnées généralisées q_i du système, de ses moments généralisés p_i tel que $p_i = \dfrac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial \dot{q}_i}$ et du temps t:

$\mathcal{H} = \mathcal{H} ( q_i, p_i, t ) = \sum_k^g p_k \dot{q}_k - \mathcal{L}$

$\mathcal{H}$ est la transformée de Legendre du lagrangien. Sa différentielle s'écrit:

$\begin{array}{ccl} d \mathcal{H} & = & \sum_{k=1}^g ( \dot{q}_k dp_k + p_k d\dot{q}_k ) - d\mathcal{L} \\ & = & \sum_{k=1}^g ( \dot{q}_k dp_k + p_k d\dot{q}_k - \dfrac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial q_k} dq_k - \dfrac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial \dot{q}_k} d\dot{q}_k - \dfrac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial t} dt \\ & = & \sum_{k=1}^g ( \dot{q}_k dp_k - \dfrac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial q_k} dq_k) - \dfrac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial t} dt \\ & = & \sum_{k=1}^g ( \dot{q}_k dp_k - \dot{p}_k dq_k) - \dfrac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial t} dt \\ & = & \sum_{k=1}^g ( \dfrac{ \partial \mathcal{H} }{ \partial p_k } dp_k + \dfrac{ \partial \mathcal{H} }{ \partial q_k } dq_k ) + \dfrac{ \partial \mathcal{H} }{ \partial t } dt \end{array}$

La dernière égalité permet de déduire les équations canoniques de Hamilton.

Comparaison entre mécanique rationnelle et optique géométrique

On peut consulter à ce sujet l'analogie entre l'optique et la mécanique.

Équation d'Hamilton-Jacobi

L'équation d'Hamilton-Jacobi s'écrit:

$\dfrac{ \partial \mathcal{S} }{ \partial t} = - \mathcal{H} ( q, \frac{ \partial \mathcal{S}}{\partial q}, t )$

Théorème de Liouville

Joseph Liouville (1809–1882)

Fonction de Hamilton ou Hamiltonien

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