Problème de flot maximum - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

- Introduction - Solutions - Références bibliographiques

Introduction

Un exemple de graphe de flot avec un flot maximum. la source est

s

, et le puits

t

. Les nombres indiquent le flot et la capacite.

Le problème de flot maximum consiste à trouver un flot réalisable depuis une source unique et vers un puits unique graphe de flot qui soit maximum. Quelque fois le problème répond simplement à la question de trouver la valeur de ce flot. Le problème du flot maximum peut être vu comme un cas particulier de plusieurs autres problèmes de flots dans les réseaux, comme le flot multi-commodites. Le s-t flot maximum (depuis la source s vers le puits t) est égal a la s-t coupe minimale du graphe, comme l'indique le Théorème flot-max/coupe-min.

Solutions

Étant donne un graphe orienté $G (V, E)$ , ou chaque arète $u, v$ a une capacité $c (u, v)$ , on cherche un flot maximum $f$ depuis la source $s$ vers le puits $t$ , sous contraintes de capacité. Il y a plusieurs façons de résoudre le problème:

Méthode	Complexité	Description
Programmation lineaire		Les contraintes sont données par flot admissible, où on considère comme admissible un flot qui n'excède pas la capacité d'un arc. On maximise $\sum_{v \in V} f(s,v)$ .
Algorithme de Ford-Fulkerson	$\scriptstyle O(E \cdot \mathit{flotmax})$	Tant qu'il existe un chemin entre la source et le puits dans le graphe résiduel, envoyer le minimum des capacités résiduelles sur ce chemin.
Algorithme de Edmonds-Karp	$O (V E 2)$	Une spécialisation de Ford-Fulkerson, trouver un chemin augmentant avec une recherche en largeur d'abord.
Algorithme de flot bloquant de Dinitz	$O (V 2 E)$	A chaque phase l'algorithme construit un graphe en couches avec une recherche en profondeur d'abord sur le graphe résiduel. Le flot maximum dans le graphe en couche peut être calcule en temps $O (V E)$ , et le nombre maximum de phase est de $V - 1$ .
Algorithme de flot maximum par poussage/re-etiquettage	$O (V 2 E)$	Cet algorithme maintient un préflot, ie. une fonction de flot avec une possibilité d'excès dans les sommets. l'algorithme fonctionne tant qu'il existe un sommet avec un excès strictement positif, appele sommet actif du graphe. L'opération de poussage augmente le flot sur une arête résiduelle, et une fonction de hauteur contrôle sur les sommets contrôle quelles arêtes résiduelles doivent être poussées. Cette fonction est changée avec la fonction d'étiquetage. Les définitions de ces opérations garantissent que le flot resultant est un flot maximum.
Poussage/re-étiquetage avec règle de sélection des sommets par FIFO	$O (V 3)$	Variante qui sélectionne toujours le sommet le plus actif formellement, et fait les opérations jusqu'à ce que l'excès soit positif ou qu'il existe des arêtes résiduelles admissibles depuis ce sommet.
Algorithme de flot bloquant de Dinitz avec arbre dynamique	$O (V E log(V))$	La structure d'arbre dynamique accelère le calcul de flot maximum dans le graphe en couche pour obtenir $O (E log(V))$ par phase.
Poussage/re-étiquetage avec usage des arbres dynamiques	$O (V E log(V 2 / E))$	L'algorithme construit des arbres de taille limitée sur le graphe résiduel en considérant la fonction de hauteur, ces arbres fournissent des opérations de poussage multi-niveau.
algorithme de flot bloquant binaire	$\scriptscriptstyle O(E\min(V^{2/3},\sqrt{E})\log(V^2/E)\log{U})$	La valeur U correspond à la capacité maximum du réseau.