Projection orthogonale - Définition
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.
Projection orthogonale en géométrie affine « élémentaire »
Projeté orthogonal sur une droite, distance
L'exemple le plus simple de projection se situe dans le plan usuel (affine euclidien) : la projection orthogonale d'un point A sur une droite (D), est le point H appartenant à (D) tel que les droites (D) et (AH) soient perpendiculaires. On utilise souvent l'expression «abaisser la perpendiculaire issue de A» pour la construction de H, qui peut se faire à la règle et au compas.Mais aussi en effectuant le produit scalaire.
La distance AH est alors inférieure aux distances AM pour les autres points M de (D), strictement sauf si M=H.
Cette distance est appelée distance du point A à la droite D. Le calcul explicite peut se faire par l'application des formules de trigonométrie pour les triangles rectangles.
Le point A est sur la droite D si et seulement s'il est égal à son projeté (A=H), ou encore si et seulement si sa distance à D est nulle.
Projection orthogonale d'une droite sur une autre droite
Toujours dans le plan affine euclidien, on peut considérer deux droites sécantes (D) et (D') formant un angle θ. La projection orthogonale est l'application p qui à chaque point M de (D) associe son projeté orthogonal H=p(M) sur (D').
Le point d'intersection I est son propre projeté : p(I)=I.
Une propriété remarquable de la projection est la façon dont elle transforme les distances. Si M et N sont des points de (D) et M'=p(M), N'=p(N) leur projeté orthogonal respectif, on obtient M'N'=MN.cos θ.
Notamment on remarquera, par parité de la fonction cosinus, que projeter orthogonalement les éléments de (D) sur (D') multiplie toutes les distances par un facteur cos θ, mais projeter orthogonalement les éléments de (D') sur (D) multiplie toutes les distances par le même facteur.
