La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.
D'un point de vue mathématique, une projection permet d'établir entre la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) de la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance...) et le plan (ou la surface développable) une correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le...) telle que:
et
où x,y désignent des coordonnées planes, la latitude, λ la longitude (La longitude est une valeur angulaire, expression du positionnement est-ouest d'un point sur Terre...) et f1,f2 des fonctions qui sont continues partout sur l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) de départ sauf sur un petit nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) de lignes et de points (tels que les pôles). Il existe donc une infinité de solutions. Les mathématiciens ne sont pas privés d'en trouver, et on en connaît plus de deux cents (Joly, 1985, page 39).
Une projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de...) s'appuie sur une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...) ou un ellipsoïde (En mathématiques, un ellipsoïde est une surface du second degré de l'espace euclidien à trois...) de révolution. La Terre étant en fait un patatoïde, on commence par choisir, à partir de son géoïde global, un ellipsoïde de révolution représentatif. Il existe plusieurs ellipsoïdes en usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.), dont les plus courants sont :
On peut signaler que les ellispoïdes IAG-GRS80 et WSG84 sont pour la plupart des applications à considérer comme étant identiques. Plus rigoureusement, l'écart en terme de demi-petit axe entre les ellipsoïdes WGS84 et IAG-GRS80 est de 0.1 mm. Signalons que IAG-GRS80 est l'ellipsoïde mis en place en 1980 par l'International Association of Geodesy comme Gedotedic Reference System. WGS84 signifie World Geodetic System, crée en 1984.
L'ellipsoïde seul ne suffit pas : il est nécessaire de le positionner par rapport à la surface réelle de la Terre. La donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) de l'ellipsoïde et des paramètres de positionnement (On peut définir le positionnement comme un choix stratégique qui cherche à donner à une offre...) constitue ce qu'on appelle un datum géodésique à partir duquel pourra être appliquée une projection.
Un datum géodésique est donc défini par :
ou, plus concrètement pour un datum local :
à quoi il convient d'ajouter la projection courante.
Il existe de nombreux datums, chacun adapté à un usage particulier, depuis des représentations globales du globe (ce sont les plus précises, comme DORIS qui permet de mesurer la dérive des continents ou le rebond post glaciaire) jusqu'à des bases cadastrales (moins précises mais s'ajustant au plus près du géoïde). Voici quelques datums géodésiques en usage :
Une fois un datum fixé, on peut choisir le type projection à appliquer pour obtenir une carte. Cette fois encore, ce choix est conduit par l'usage, car les projections peuvent avoir diverses propriétés :
Une projection ne peut être à la fois conforme et équivalente.
Une carte ne pouvant pas être obtenue simplement en écrasant une sphère, la projection passe généralement par la représentation de la totalité ou une partie de l'ellipsoïde sur une surface développable, c'est-à-dire une surface qui peut être étalée sans déformation sur un plan.
Les trois formes mathématiques courantes qui répondent à ce critère (à savoir le plan, le cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée...) et le cône) donnent lieu aux trois types principaux de projections :
Une projection qui ne peut être classée dans un de ces types est appelée individuelle ou unique.
On projette l'ellipsoïde sur un cylindre qui l'englobe. Celui-ci peut être tangent au grand cercle (En géométrie, un grand cercle est un cercle tracé à la surface d'une sphère qui a le même...), ou sécant en deux cercles. Puis on déroule le cylindre pour obtenir la carte. |
Exemples de projection cylindrique :
On projette l'ellipsoïde sur un cône tangent à un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...) ou sécant en deux cercles. Puis on déroule le cône pour obtenir la carte. |
Exemples de projection conique :
On projette l'ellipsoïde sur un plan tangent en un point ou sécant en un cercle. |
Il existe trois types de projections azimutales, qui se différencient par la position du point de perspective utilisé pour la projection:
Par ailleurs, selon la position du plan tangent, la projection azimutale est dite polaire (plan tangent à un pôle), équatoriale (plan tangent en un point de l'équateur), ou oblique (plan tangent en un autre point). La projection azimutale polaire sert pour les cartes représentant les lignes aériennes qui passent par les régions polaires afin de réduire la distance de parcours.
Le point de perspective est placé sur le sphéroïde (Un sphéroïde ou ellipsoïde de rotation est une surface quadrique en 3 dimensions obtenue par...) ou l'ellipsoïde à l'opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à...) du plan de projection. Le plan de projection qui sépare les deux hémisphères nord et sud (Le sud est un point cardinal, opposé au nord.) de la sphère, est appelé plan équatorial.
Le point de perspective est au centre du sphéroïde.
Le point de perspective est à une distance infinie. On perçoit un hémisphère du globe comme si on était situé dans l'espace. Les surfaces et formes sont déformées, mais les distances sont préservées sur des lignes parallèles.
Il existe de nombreuses cartes qui ne résultent pas d'une projection sur un cône, un cylindre ou un plan: