Projection orthogonale - Définition et Explications

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Introduction

En mathématiques, la projection orthogonale est une transformation de l'espace, une application linéaire :

  • en géométrie plane, c'est une projection telle que les deux droites — la droite sur laquelle on projette et la direction de projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de...) — sont perpendiculaires ;
  • en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) dans l'espace, c'est une projection telle que la droite et le plan — quels que soient leurs rôles respectifs — sont perpendiculaires.

La projection orthogonale (En mathématiques, la projection orthogonale est une transformation de l'espace, une...) est un type de perspective très utilisée en dessin (géométrie descriptive), et en infographie : la génération des figures est simple, par contre, on ne peut pas représenter l'éloignement (la taille des objets ne varie pas avec la distance).

De manière plus générale, en algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse...), une projection orthogonale est un projecteur (Le mot projecteur peut désigner les instruments d'optique suivants :) tel que les deux sous-espaces sont orthogonaux.

La projection orthogonale permet de résoudre le problème de la plus courte distance d'un point (Graphie) à une droite, d'un point à un plan, ou plus généralement d'un point à un sous-espace affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) d'un espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...) d'autre part. On peut alors utiliser ce concept pour résoudre des problèmes de type «moindres carrés».

L'idée générale, basée sur le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui...), est que le problème de plus courte distance se ramène à une propriété d'orthogonalité (En mathématiques, l'orthogonalité est un concept d'algèbre linéaire...).

Le fil à plomb (Le plomb est un élément chimique de la famille des cristallogènes, de symbole Pb et...) est un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son...) qui permet de visualiser la projection orthogonale d'un point sur un plan (en première analyse du moins).

Dessin par projection orthogonale

Exemple de projection orthogonale sur un plan

Les projections orthogonales sont utilisées pour le dessin, notamment le dessin technique et les jeux vidéo (La vidéo regroupe l'ensemble des techniques, technologie, permettant l'enregistrement ainsi que la...). On distingue typiquement deux types de projections utilisées :

  • la géométrie descriptive : le plan de projection contient deux des axes du repère orthonormé direct ;
  • la perspective axonométrique : le plan de projection est distinct des plans sus-cités.

Voir ces articles.

Projection orthogonale dans un espace vectoriel préhilbertien

Les projections orthogonales sont des endomorphismes qui font partie de la classe plus générale des projecteurs, qu'on peut alors considérer, a contrario, comme des projections «obliques».

On se place dans un espace préhilbertien (En mathématiques, un espace préhilbertien est défini comme un espace vectoriel...) E, de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) quelconque. On se donne un sous-espace vectoriel (En algèbre linéaire, étant donné un espace vectoriel E sur un corps K, un...) F de E. Le problème de projection orthogonale sur F peut être énoncé ainsi : peut-on décomposer un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) quelconque de E en une composante sur F et une composante orthogonale à F ? La réponse dépendra en fait de l'espace F considéré.

Projection orthogonale sur une droite vectorielle

Si F est une droite vectorielle engendrée par le vecteur a, l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des vecteurs orthogonaux à F est un hyperplan (En algèbre linéaire, les hyperplans sont définis dans la théorie des espaces vectoriels.) appelé hyperplan normal à F et défini par

F^\perp = \{ h\in E, (h\cdot a)=0\}~

Si x est un vecteur arbitraire de E, on peut toujours le décomposer de la façon suivante

x=x_F+x_\perp avec x_F = \dfrac{(a\cdot x)}{\|a\|^2} a

Et on constate que xF est dans F, tandis que x_\perp=x-x_F est dans l'hyperplan normal à F.

Il est donc toujours possible d'effectuer une projection orthogonale sur une droite vectorielle.

Existence d'une projection orthogonale

On peut donner un exemple d'espace F pour lequel la notion de projection orthogonale sur F n'a pas de sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...). Ainsi si on considère l'espace \mathbb R[X] des polynômes réels muni de son produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique...) usuel, et F l'hyperplan Vect(1 + X,1 + X2,...,1 + Xn,...), l'ensemble des vecteurs orthogonaux à F est réduit à {0}. On ne peut donc décomposer les éléments de E, autres que ceux de F, en un élément de F et un élément orthogonal.

Cet exemple est frappant : alors qu'une droite a toujours un supplémentaire orthogonal (unique d'ailleurs), un hyperplan peut très bien n'avoir aucun supplémentaire orthogonal. Il est difficile de faire un dessin convaincant pour une telle situation !

Plus généralement on a équivalence entre les propriétés suivantes

  1. il existe une projection orthogonale sur F
  2. F admet un supplémentaire orthogonal
  3. F^\perp est le supplémentaire orthogonal de F

Ceci montre au passage que le supplémentaire orthogonal, s'il existe, est unique.

Lorsque F admet un supplémentaire orthogonal, (F^\perp)^\perp = F~ donc F est nécessairement fermé, puisque l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel l'est.

Un cas d'existence important

  • On peut généraliser la formule de projection sur une droite si F est de dimension finie. En effet, en considérant une base orthonormale (Soit En un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel non nul, et , une...) (e1,...,en) de F, on exhibe la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils...)
x=x_F+x_\perp avec x_F = \sum_{i=1}^n (e_i\cdot x) e_i

Attention à ne pas appliquer cette formule avec une base de F quelconque !

  • Si E est un espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit...) et F un sous-espace vectoriel fermé, alors l'orthogonal de F est un supplémentaire de F dans E.
  • Le point commun entre les deux conditions suffisantes ci-dessus est qu'elles entraînent la complétude (On parle de complétude en mathématiques dans des sens très différents. On dit d'un objet...) de F (tout sous-espace de dimension finie d'un préhilbert est complet, et tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) sous-espace fermé d'un Hilbert également). Cette hypothèse plus faible est en fait suffisante :

Si F est un sous-espace complet d'un espace préhilbertien E alors l'orthogonal de F est un supplémentaire de F dans E.

Deux preuves sont présentées dans Théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un Hilbert.

Minimisation de la distance

La distance d'un vecteur x au sous-espace F est par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) la borne inférieure des distances de x à tous les vecteurs de F :

d(x,F)=\inf_{y\in F}\|x-y\|.

Si le sous-espace F admet un supplémentaire orthogonal, le projeté orthogonal p(x) de x sur F est le point de F le plus proche de x (donc l'inf ci-dessus est en fait un min), ce qui fournit une définition alternative de p(x) :

 \big(y\in F\ {\rm et}\ d(x,F)=\|x-y\|)\Leftrightarrow y=p(x).

En effet, non seulement ||x-p(x)|| majore la distance d(x,F) (puisqu'il fait partie des ||x-y|| dont d(x,F) est l'inf), mais il la minore également : pour tout y de F distinct de p(x) on a même ||x-y||>||x-p(x)||, d'après l'identité de Pythagore (Pythagore (en grec ancien Πυθαγόρας /...).

Cette propriété est généralisée dans l'article théorème de projection sur un convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le...).

Caractérisations parmi les projecteurs

Par la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un...) subordonnée

Une application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation...) p sur l'espace préhilbertien E est k-lipschitzienne sur E si et seulement si

\forall x \in E, \|p(x)\|\leq k\|x\|~,

et la norme subordonnée de p est alors la plus petite des constantes k telles que p soit k-lipschitzienne.

On peut alors énoncer la caractérisation :

Soit p un projecteur de l'espace préhilbertien E, les trois conditions suivantes sont équivalentes :

  1. p est une projection orthogonale
  2. p est 1-lipschitzienne
  3. la norme subordonnée de p est égale à 0 ou 1.

Par le fait d'être autoadjoint

Un projecteur de l'espace préhilbertien E est une projection orthogonale si et seulement c'est un endomorphisme autoadjoint.

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