Perpendicularité - Définition

En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à plomb) et justifie la généralisation de la notion de perpendicularité (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en...) à l'espace pour des droites ou des plans. Les notions d'orthogonalité (En mathématiques, l'orthogonalité est un concept d'algèbre linéaire...) et de perpendicularité, quoique voisines, possèdent leurs spécificités propres et ne doivent pas être confondues. La perpendicularité est une propriété importante en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) et en trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος /...) où les triangles rectangles comprennent deux segments perpendiculaires et ont ainsi des propriétés particulières, qui sont à la base de la trigonométrie.

Perpendicularité en géométrie plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle...)

En géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à...) plane, deux droites non parallèles sont toujours sécantes. Lorsqu'elles se coupent en formant (Dans l'intonation, les changements de fréquence fondamentale sont perçus comme des variations de...) un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) droit (i.e. quatre angles droits), elles sont dites perpendiculaires. Les directions des droites étant orthogonales, les droites sont dites aussi orthogonales.En revanche, deux segments peuvent avoir des directions orthogonales sans pour autant se couper. Ce n'est que si les segments se coupent en angle droit qu'ils seront dits perpendiculaires.

Dans le plan, par un point (Graphie) donné, ne passe qu'une seule droite perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en...) à une droite donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...).

Dans le plan, les notions de droites perpendiculaires et parallèles sont liées par les propriétés suivantes :

• Si deux droites sont perpendiculaires, toute droite parallèle à l'une est perpendiculaire à l'autre.
• Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
• Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.

Si le plan est muni d'un repère orthonormal, et si les droites sont définies par les équations y = ax + b et y = a'x + b'. Les droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs aa' est égal à -1.

Si le plan est muni d'un repère orthonormal et si les droites sont définies par les équations ax + by + c = 0 et a'x + b'y + c' = 0, les droites sont perpendiculaires si et seulement si aa' + bb' = 0.

En T_EX, on note la perpendicularité avec le code \perp ce qui donne : .

Perpendicularité dans l'espace

Droites perpendiculaires

Deux droites de l'espace sont perpendiculaires si et seulement si elles se coupent en formant un angle droit. Dans l'espace, des droites, non parallèles, peuvent ne pas se couper. Si une des droites est parallèle à une droite perpendiculaire à l'autre alors les deux droites sont dites orthogonales. Elles ne seront dites perpendiculaires que si elles sont sécantes.

Dans l'espace, si une droite est donnée et si un point non situé sur la droite est donné, il n'existe qu'une seule droite passant par le point donné et perpendiculaire à la droite donnée. Si le point est situé sur la droite, il existe une infinité de droites passant par ce point et perpendiculaire à la droite donnée.

Dans l'espace, les notions de parallèles et de perpendiculaires ne sont plus aussi liées.

• Si deux droites sont perpendiculaires, toute droite parallèle à l'une est seulement orthogonale à l'autre. Elle ne sera perpendiculaire à l'autre que si elle la coupe.
• Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est seulement orthogonale à l'autre. Elle ne sera perpendiculaire à l'autre que si elle la coupe
• Deux droites peuvent être perpendiculaires à une même droite sans pour autant être parallèles, il suffit par exemple de prendre les trois droites supportant les arêtes du coin d'un cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées....).

Droite perpendiculaire à un plan

Dans l'espace, si une droite n'est pas parallèle à un plan, elle coupe toujours ce plan. Si la droite est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan, on dira que la droite est perpendiculaire au plan. La droite sera alors orthogonale à toutes les droites du plan.

Dans l'espace, par un point donné ne passe qu'une seule droite perpendiculaire à un plan donné et qu'un seul plan perpendiculaire à une droite donnée.

On retrouve alors des relations plus intéressantes sur perpendiculaires et parallèles

• Si une droite est perpendiculaire à un plan, toute droite parallèle à la première est aussi perpendiculaire au plan, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) plan parallèle au premier plan est aussi perpendiculaire à la droite
• Si deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Si deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.
• Si deux plans sont perpendiculaires à une même droite, ils sont parallèles. De même, si deux droites sont perpendiculaires à une même plan, elles sont parallèles.

La direction perpendiculaire à une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) en un point est souvent appelée la direction normale à la surface, ou encore orthogonale.

Plans perpendiculaires

La notion de plans perpendiculaires, bien qu'intuitive, est très dangereuse car elle ne possède pratiquement aucune propriété. Pour comprendre la notion de plans perpendiculaires, il faut revenir à la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) première de perpendiculum (fil à plomb) et à la notion de plan vertical (Le vertical (rare), ou style vertical, est un style d’écriture musicale consistant en...) et plan horizontal (Horizontal est une orientation parallèle à l'horizon, et perpendiculaire à la...). Un plan horizontal est un plan perpendiculaire à la direction du fil à plomb (Le plomb est un élément chimique de la famille des cristallogènes, de symbole Pb et...). Un plan vertical est un plan contenant la direction du fil à plomb. Un plan vertical est dit alors perpendiculaire au plan horizontal.

De cette notion première naît la définition suivante : Un plan est perpendiculaire à un autre, s'il contient une droite perpendiculaire au second plan. On démontre que cette relation est symétrique.

Il n'existe pas de notion de plans orthogonaux en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) 3. Deux plans seraient orthogonaux si toute direction du premier plan était orthogonale à toute direction du second plan, ce qui est matériellement impossible.

Il faut se méfier de la notion de plans perpendiculaires. Par exemple :

• deux plans perpendiculaires peuvent contenir des droites parallèles (Deux droites sont dites parallèles si elles n'ont aucun point commun ou si elles sont...)
• deux plans perpendiculaires à un troisième ne sont pas forcément parallèles (voir les faces du cube).

Il reste cependant quelques propriétés

• Si deux plans sont perpendiculaires, un plan parallèle à l'un est perpendiculaire à l'autre
• Si deux plans sont parallèles, un plan perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.

Notion générale de sous-espaces perpendiculaires en géométrie euclidienne

Dans un espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...), deux sous-espaces vectoriels sont dits orthogonaux quand tout vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) de l'un est orthogonal à tout vecteur de l'autre. Ils sont alors automatiquement en somme directe (En mathématiques, et plus précisément en algèbre, le terme de somme directe...). Ainsi deux plans de l'espace euclidien à trois dimensions ne peuvent être orthogonaux.

Deux sous-espaces vectoriels sont dits perpendiculaires quand ce sont leurs supplémentaires orthogonaux qui sont orthogonaux. Ainsi deux plans vectoriels de l'espace à trois dimensions sont perpendiculaires quand leurs droites normales sont orthogonales.