Produit scalaire - Définition et Explications

Introduction

En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux vecteurs. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire). Elle permet d'exploiter les notions de la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à...) traditionnelle : longueurs, angles, orthogonalité (En mathématiques, l'orthogonalité est un concept d'algèbre linéaire...) en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) deux et trois, mais aussi de les étendre à des espaces vectoriels réels de toute dimension, et aux espaces vectoriels complexes.

Comme il existe deux grandes manières de définir les vecteurs, soit par une approche purement algébrique (cf espace vectoriel), soit par une approche géométrique à l'aide des bipoints (ou couple ordonné de points, cf Vecteur), il existe de même deux manières de présenter le produit scalaire : une manière algébrique, (objet de l'article Espace préhilbertien) et une manière géométrique, à l'aide de bipoints.

L'objectif de cet article est de présenter le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique...) de manière géométrique dans un espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...) traditionnel et de montrer comment cette notion peut s'étendre à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...).

Aperçu des applications du produit scalaire

Le produit scalaire possède de multiples applications. En physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...), il est, par exemple, utilisé pour modéliser le travail d'une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un...). En géométrie analytique (La géométrie analytique est une approche de la géométrie dans laquelle on représente les...) il permet de déterminer le caractère perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en...) de deux droites ou d'une droite et d'un plan. Ce domaine est le sujet de cet article. Dans le cas de la dimension finie quelconque, il dispose de nombreuses applications algébriques : il permet de classifier les quadriques, offre des outils pour la réduction d'endomorphismes ou encore est à la base de multiples techniques statistiques (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle...) comme la méthode des moindres carrés (La méthode des moindres carrés, indépendamment élaborée par Legendre en...) ou l'analyse en composantes principales. En géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...), il confère à l'espace vectoriel une structure d'espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre...) disposant de nombreuses propriétés comme la complétude (On parle de complétude en mathématiques dans des sens très différents. On dit d'un objet...). Ces applications sont traitées dans les articles Espace euclidien et Espace hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien...). Le produit scalaire est aussi utilisé dans des espaces de dimension infinie, il permet alors de résoudre des équations aux dérivées partielles. La théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) devient plus subtile et de nombreux résultats, vrais en dimension finie, prennent une autre forme. Cet aspect du produit scalaire est traité dans les articles Espace préhilbertien (En mathématiques, un espace préhilbertien est défini comme un espace vectoriel...) et Espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit...).

Enfin, l'article géométrie euclidienne propose une synthèse de l'histoire, des implications et applications du produit scalaire en dimension finie.

Définitions et premières propriétés

Dans cette section, on considèrera un espace traditionnel tel qu'il est défini par Euclide : plan ou espace formé de points dans lequel les notions de distance et d'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) sont connues. On sait aussi calculer le cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour...) de tout angle géométrique. Sont également utilisables le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui...), celui d'Al-Kashi et le théorème de Thalès (Le théorème de Thalès ou théorème d'intersection est un théorème...). La construction géométrique des vecteurs dans un tel espace est détaillée dans l'article Vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...).

Soient deux vecteurs représentés par des bipoints de mêmes origines (O, A) et (O, B). De tels représentants existent quel que soit le choix des vecteurs. Dans le reste de l'article, la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) du bipoint (O, A) est notée OA ou parfois |OA|, c'est donc un nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres...) positif.

Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls et représentés par des bipoints OA et OB est le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) défini par OAOB⋅cos(θ)
Définition :
Etant donnés des points O, A et B, on considère les vecteurs représentés par les bipoints OA et OB.
Lorsque ces vecteurs sont non nuls le produit scalaire est le nombre réel OA·OB·cos(θ) où θ représente l'angle orienté AOB.
Si l'un des vecteurs est nul alors le produit scalaire est nul.
Dans tous les cas, on note ce produit scalaire : \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}

Dans le cas où aucun des vecteurs n'est nul, cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) prend la forme suivante :

\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}  = OA \times OB \times \cos(\widehat{AOB})

Ici cos désigne la fonction mathématique cosinus et \widehat{AOB} représente l'angle géométrique de sommet O dessiné par les points A, O et B.

Dans le cas où les deux vecteurs sont égaux, la notation suivante est utilisée :

\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OA}^2 = OA^2

La valeur du produit scalaire correspond alors à l'aire d'un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) de côté OA.

Définition :
La norme euclidienne d'un vecteur représenté par un bipoint AB est la distance qui sépare A de B. En général, elle est notée \scriptstyle \left\| \overrightarrow {AB} \right\|.
Elle est égale à la racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le...) du produit scalaire du vecteur avec lui-même.
\left\| \overrightarrow {AB} \right\| = \sqrt[]{\overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow {AB}}

Une inégalité évidente est vérifiée par le produit scalaire ainsi défini :

Inégalité de Cauchy-Schwarz
Soient O, A et B trois points du plan, la valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.) du produit scalaire des deux vecteurs d'extrémités O, A et O, B est toujours inférieure ou égale au produit des normes des deux vecteurs. Cette majoration s'écrit :
 \left|\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} \right| \leqslant \left\| \overrightarrow{OA} \right\| \times \left\| \overrightarrow{OB} \right\|

L'égalité a lieu si et seulement si les trois points sont alignés. Cette majoration provient du fait que la fonction cosinus prend ses valeurs dans l'intervalle d'extrémité 1 et -1. Pour que l'égalité ait lieu, il faut et il suffit que le cosinus ait pour valeur soit 1 soit -1, c'est-à-dire que l'angle soit nul ou plat. Ce qui signifie bien que les trois points sont alignés. Une fois encore, cette inégalité est l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) de l'article Inégalité de Cauchy-Schwarz, l'article suppose encore une formalisation algébrique différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des...) de celle choisie ici.

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