Trigonométrie
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Introduction

Planche sur la Trigonométrie, 1728 Cyclopaedia

La trigonométrie (du grec τρίγωνος / trígonos, « triangulaire », et μέτρον / métron, « mesure ») est une branche des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures,...) qui traite des relations entre distances et angles dans les triangles et des fonctions trigonométriques telles que sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux...), cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux longueurs...) et tangente.

Présentation

Histoire de la trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος / trígonos, « triangulaire », et...)

Premières techniques de mesure du triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de...)

Les origines de la trigonométrie remontent aux civilisations d'Égypte antique, de Mésopotamie et de la vallée (Une vallée est une dépression géographique généralement de forme allongée et façonnée dans le relief par un cours d'eau (vallée fluviale) ou un glacier...) de l'Indus, il y a plus de 4000 ans. Il semblerait que les Babyloniens aient basé la trigonométrie sur un système numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite...) à base 60. Lagadha (-1350 ; -1200) est le premier mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre...) à utiliser la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et,...) et la trigonométrie pour l'astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer leur origine, leur évolution, leurs propriétés...). La plupart de ses travaux sont aujourd'hui détruits.

La première utilisation de sinus apparaît dans les sulba Sutras en Inde, entre 800 et 500 avant J.C., où le sinus de π/4 (45°) est correctement calculé comme 1/√2 dans un problème de construction d'un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée...) de même aire qu'un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est...) donné (le contraire de la quadrature du cercle).

Les astronomes grecs

L'astronome (Un astronome est un scientifique spécialisé dans l'étude de l'astronomie.) et mathématicien grec Hipparque de Nicée (-190 ; -120) construisit les premières tables trigonométriques sous la forme de tables de cordes : elles faisaient correspondre à chaque valeur de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) au centre (avec une division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce...) du cercle en 360°), la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de...) de la corde interceptée dans le cercle, pour un rayon fixe donné. Ce calcul correspond au double du sinus de l'angle moitié, et donne donc, d'une certaine façon, ce que nous appelons aujourd'hui une table de sinus. Toutefois, les tables d'Hipparque n'étant pas parvenues jusqu'à nous, elles ne nous sont connues que par le grec Ptolémée, qui les publia, vers l'an 150, avec leur mode de construction dans son Almageste. C'est ainsi qu'elles furent redécouvertes à la fin du Moyen Âge par Georg von Purbach et son élève Regiomontanus. On attribue à Ménélaüs d'Alexandrie (Alexandrie (grec :?λεξ?νδρεια, Copte : Rakot?, Arabe : ??????????, Al-?Iskandariya) est une ville d’Égypte de...) (fin du Ier siècle) des développements en trigonométrie sphérique (La trigonométrie sphérique est un ensemble de relations analogues à celles de la trigonométrie euclidienne mais portant sur les angles et distances repérés sur une sphère.), au moins partiellement présents dans l'Almageste et longtemps attribués à Ptolémée lui-même.

Le mathématicien indien Aryabhata, en 499, donne une table des sinus et des cosinus. Il utilise zya pour sinus, kotizya pour cosinus et otkram zya pour l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un...) du sinus. Il introduit aussi le sinus verse.

Un autre mathématicien indien, Brahmagupta, utilise en 628 l'interpolation numérique pour calculer la valeur des sinus jusqu'au second ordre.

Essor dans le monde (Le mot monde peut désigner :) musulman

Omar Khayyam (1048-1131) combine l'utilisation de la trigonométrie et la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée...) de l'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien qu'une...) pour fournir des méthodes de résolutions d'équations algébriques par la géométrie. Des méthodes détaillées de constructions de tables de sinus et cosinus pour tous les angles sont écrites par le mathématicien Bhaskara en 1150. Il développe aussi la trigonométrie sphérique. Au XIIIe siècle, Nasir al-Din Tusi, à la suite de Bhaskara, est probablement un des premiers à considérer la trigonométrie comme une discipline distincte des mathématiques. Enfin, au XIVe siècle, Al-Kashi réalise des tables de fonctions trigonométriques lors de ses études en astronomie.

En Europe : redécouverte de Ptolémée

En Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un continent à part entière, mais aussi comme...), la trigonométrie se développe vers le milieu du XIVe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois (d'où peut être l'âge...) avec la traduction en latin des œuvres de Ptolémée. Les pionniers en ce domaine sont Georg von Purbach et surtout son étudiant Regiomontanus. Suivent au début du XVIe siècle les traités d'Oronce Finé, Pedro Nunes et Joachim Rheticus. Le mathématicien silésien Bartholomäus Pitiscus publie un travail remarquable sur la trigonométrie en 1595, dont le titre (Trigonometria) a donné son nom à la discipline. C'est le mathématicien flamand Adrien Romain qui introduit la notation moderne \sin \ \alpha.

Applications

Les applications de la trigonométrie sont immenses. En particulier, elle est utilisée en astronomie avec la technique de triangulation (En géométrie et trigonométrie, la triangulation est une technique permettant de déterminer la position d'un point en mesurant les angles entre...) qui permet de mesurer la distance entre les étoiles. Les autres champs où la trigonométrie intervient (liste non exhaustive) : acoustique (L’acoustique est une branche de la physique dont l’objet est l’étude des sons et des ondes mécaniques. Elle fait appel aux...), optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement électromagnétique et de ses relations avec la vision.), électronique, statistiques (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi que la présentation de...), économie, biologie (La biologie, appelée couramment la « bio », est la science du vivant. Prise au sens large de science du vivant, elle recouvre une partie des...), chimie (La chimie est une science de la nature divisée en plusieurs spécialités, à l'instar de la physique et de la biologie avec lesquelles elle...), médecine (La médecine (du latin medicus, « qui guérit ») est la science et la pratique (l'art) étudiant l'organisation du corps humain (anatomie), son fonctionnement...), physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique...), météorologie (La météorologie a pour objet l'étude des phénomènes atmosphériques tels que les nuages, les précipitations ou le vent dans le but de comprendre comment ils se forment et évoluent en...), géodésie, géographie (La géographie (du grec ancien γεωγραφία - geographia, composé de "η γη" (hê gê) la Terre et "γραφειν"...), cartographie (La cartographie désigne la réalisation et l'étude des cartes géographiques. Le principe majeur de la cartographie est la représentation de données sur un support réduit...), cryptographie (La cryptographie est une des disciplines de la cryptologie s'attachant à protéger des messages (assurant confidentialité, authenticité et intégrité) en s'aidant souvent de secrets ou clés.), etc.

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