Trigonométrie - Définition et Explications

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Introduction

Planche sur la Trigonométrie, 1728 Cyclopaedia

La trigonométrie (du grec τρίγωνος / trígonos, « triangulaire », et μέτρον / métron, « mesure ») est une branche des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) qui traite des relations entre distances et angles dans les triangles et des fonctions trigonométriques telles que sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour...), cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour...) et tangente.

Présentation

Histoire de la trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος /...)

Premières techniques de mesure du triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points...)

Les origines de la trigonométrie remontent aux civilisations d'Égypte antique, de Mésopotamie et de la vallée (Une vallée est une dépression géographique généralement de forme...) de l'Indus, il y a plus de 4000 ans. Il semblerait que les Babyloniens aient basé la trigonométrie sur un système numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information...) à base 60. Lagadha (-1350 ; -1200) est le premier mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute...) à utiliser la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) et la trigonométrie pour l'astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer...). La plupart de ses travaux sont aujourd'hui détruits.

La première utilisation de sinus apparaît dans les sulba Sutras en Inde, entre 800 et 500 avant J.C., où le sinus de π/4 (45°) est correctement calculé comme 1/√2 dans un problème de construction d'un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...) de même aire qu'un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) donné (le contraire de la quadrature du cercle).

Les astronomes grecs

L'astronome (Un astronome est un scientifique spécialisé dans l'étude de l'astronomie.) et mathématicien grec Hipparque de Nicée (-190 ; -120) construisit les premières tables trigonométriques sous la forme de tables de cordes : elles faisaient correspondre à chaque valeur de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) au centre (avec une division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par...) du cercle en 360°), la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) de la corde interceptée dans le cercle, pour un rayon fixe donné. Ce calcul correspond au double du sinus de l'angle moitié, et donne donc, d'une certaine façon, ce que nous appelons aujourd'hui une table de sinus. Toutefois, les tables d'Hipparque n'étant pas parvenues jusqu'à nous, elles ne nous sont connues que par le grec Ptolémée (Claudius Ptolemaeus (en grec : Κλαύδιος...), qui les publia, vers l'an 150, avec leur mode de construction dans son Almageste. C'est ainsi qu'elles furent redécouvertes à la fin du Moyen Âge par Georg von Purbach et son élève Regiomontanus. On attribue à Ménélaüs d'Alexandrie (Alexandrie (grec :?λεξ?νδρεια, Copte :...) (fin du Ier siècle) des développements en trigonométrie sphérique (La trigonométrie sphérique est un ensemble de relations analogues à celles de la trigonométrie...), au moins partiellement présents dans l'Almageste et longtemps attribués à Ptolémée lui-même.

Le mathématicien indien Aryabhata, en 499, donne une table des sinus et des cosinus. Il utilise zya pour sinus, kotizya pour cosinus et otkram zya pour l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...) du sinus. Il introduit aussi le sinus verse.

Un autre mathématicien indien, Brahmagupta, utilise en 628 l'interpolation numérique pour calculer la valeur des sinus jusqu'au second ordre.

Essor dans le monde (Le mot monde peut désigner :) musulman

Omar Khayyam (L'écrivain et savant persan connu en francophonie sous le nom d'Omar Khayyām ou de...) (1048-1131) combine l'utilisation de la trigonométrie et la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) de l'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...) pour fournir des méthodes de résolutions d'équations algébriques par la géométrie. Des méthodes détaillées de constructions de tables de sinus et cosinus pour tous les angles sont écrites par le mathématicien Bhaskara en 1150. Il développe aussi la trigonométrie sphérique. Au XIIIe siècle, Nasir al-Din Tusi, à la suite de Bhaskara, est probablement un des premiers à considérer la trigonométrie comme une discipline distincte des mathématiques. Enfin, au XIVe siècle, Al-Kashi réalise des tables de fonctions trigonométriques lors de ses études en astronomie.

En Europe : redécouverte de Ptolémée

En Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un...), la trigonométrie se développe vers le milieu du XIVe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui...) avec la traduction en latin des œuvres de Ptolémée. Les pionniers en ce domaine sont Georg von Purbach et surtout son étudiant Regiomontanus. Suivent au début du XVIe siècle les traités d'Oronce Finé, Pedro Nunes et Joachim Rheticus. Le mathématicien silésien Bartholomäus Pitiscus publie un travail remarquable sur la trigonométrie en 1595, dont le titre (Trigonometria) a donné son nom à la discipline. C'est le mathématicien flamand Adrien Romain qui introduit la notation moderne \sin \ \alpha.

Applications

Les applications de la trigonométrie sont immenses. En particulier, elle est utilisée en astronomie avec la technique de triangulation (En géométrie et trigonométrie, la triangulation est une technique permettant de...) qui permet de mesurer la distance entre les étoiles. Les autres champs où la trigonométrie intervient (liste non exhaustive) : acoustique (L’acoustique est une branche de la physique dont l’objet est l’étude des...), optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement...), électronique, statistiques (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle...), économie, biologie (La biologie, appelée couramment la « bio », est la science du vivant....), chimie (La chimie est une science de la nature divisée en plusieurs spécialités, à...), médecine (La médecine (du latin medicus, « qui guérit ») est la science et la...), physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...), météorologie (La météorologie a pour objet l'étude des phénomènes atmosphériques...), géodésie, géographie (La géographie (du grec ancien γεωγραφία...), cartographie (La cartographie désigne la réalisation et l'étude des cartes géographiques. Le...), cryptographie (La cryptographie est une des disciplines de la cryptologie s'attachant à protéger des messages...), etc.

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