En analyse mathématique, la semi-continuité est une propriété des fonctions définies sur un espace topologique et à valeurs dans la droite réelle achevée
; il s'agit d'une forme faible de la continuité. Intuitivement, une telle fonction
est dite semi-continue supérieurement en
si, lorsque
est proche de
,
est soit proche de
, soit inférieur à
. Pour définir semi-continue inférieurement, on remplace « inférieur à » par « supérieur à » dans la définition précédente.
Les fonctions lipschitziennes de [0,1] vers l'espace Rn forment un espace vectoriel réel, noté ici E. Il est muni de la topologieC0,1, celle définie par la norme
où le supremum porte sur toutes les partitions finies
. La longueur L(f) est un nombre fini, et la fonction L est semi-continue inférieurement. Cela signifie exactement que, pour tout réel positif r, la partie
est fermé pour la topologie C0,1.
Propriétés
Une fonction est continue en un point si et seulement si elle est semi-continue supérieurement et inférieurement en ce point.
Si
et
sont deux fonctions semi-continues supérieurement en
, alors
l'est aussi. Si de plus les deux fonctions sont à valeurs positives ou nulles, leur produit
est également semi-continu supérieurement en
. Le produit d'une fonction semi-continue supérieurement par un réel négatif est une fonction semi-continue inférieurement.
Soit
une famille de fonctions semi-continues inférieurement de X dans
et
pour tout
dans
. Alors
est semi-continue inférieurement. En effet, pour tout réel
, l'ensemble
est la réunion des ensembles : c'est une réunion d'ouverts, il est donc lui-même ouvert.
Par contre, même si toutes les fonctions
sont continues,
n'est pas nécessairement continue : en fait, sur un espace uniforme, toute fonction semi-continue inférieurement est le sup d'une famille de fonctions continues (sur un espace métrique cette famille peut même être choisie dénombrable).
La fonction indicatrice de tout ouvert est semi-continue inférieurement. La fonction indicatrice de tout fermé est semi-continue supérieurement.
Si
est un compact (par exemple un intervalle fermé
de
) et si
est semi-continue supérieurement, alors
est majorée sur
et atteint sa borne supérieure. La propriété est analogue pour la borne inférieure d'une fonction semi-continue inférieurement. Ces propriétés généralisent le théorème des bornes.
Définition formelle
Soit
un espace topologique,
un point de
et
une fonction. On dit que
est semi-continue supérieurement en
si pour tout , il existe un voisinage
de
tel que
pour tout
de
. De manière équivalente, on peut exprimer cela par :
où limsup est la limite supérieure (d'une fonction
au point
).
La fonction
est dite semi-continue supérieurement si et seulement si elle est semi-continue supérieurement en tout point de X. Elle est donc semi-continue supérieurement si et seulement si
est un ouvert pour tout
.
De même, la semi-continuité inférieure en
s'exprime par :
et
est dite semi-continue inférieurement si et seulement si elle est semi-continue inférieurement en tout point de X, ou encore si et seulement si est un ouvert pour tout
.
: c'est une réunion d'ouverts, il est donc lui-même ouvert.
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, il existe un voisinage
est un ouvert pour tout
