Semi-continuité - Définition

Introduction

En analyse mathématique, la semi-continuité est une propriété des fonctions définies sur un espace topologique et à valeurs dans la droite réelle achevée  ; il s'agit d'une forme faible de la continuité. Intuitivement, une telle fonction est dite semi-continue supérieurement en si, lorsque est proche de , est soit proche de , soit inférieur à . Pour définir semi-continue inférieurement, on remplace « inférieur à » par « supérieur à » dans la définition précédente.

Exemples

Une fonction semi-continue supérieurement (le point complètement bleu indique f(x₀)

Une fonction semi-continue inférieurement (le point complètement bleu indique f(x₀)

Considérons la fonction f définie par pour et . Cette fonction est semi-continue supérieurement, mais non semi-continue inférieurement.

La fonction partie entière , qui retourne le plus grand entier inférieur ou égal au donné, est partout semi-continue supérieurement.

La fonction f définie par pour et est partout semi-continue supérieurement (mais n'admet pas de limite à gauche ni à droite en 0).

La fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle est semi-continue supérieurement.

Longueur

Les fonctions lipschitziennes de [0,1] vers l'espace Rⁿ forment un espace vectoriel réel, noté ici E. Il est muni de la topologie C^0,1, celle définie par la norme

.

La longueur de la courbe f est définie par

où le supremum porte sur toutes les partitions finies . La longueur L(f) est un nombre fini, et la fonction L est semi-continue inférieurement. Cela signifie exactement que, pour tout réel positif r, la partie est fermé pour la topologie C^0,1.

Propriétés

Une fonction est continue en un point si et seulement si elle est semi-continue supérieurement et inférieurement en ce point.

Si et sont deux fonctions semi-continues supérieurement en , alors l'est aussi. Si de plus les deux fonctions sont à valeurs positives ou nulles, leur produit est également semi-continu supérieurement en . Le produit d'une fonction semi-continue supérieurement par un réel négatif est une fonction semi-continue inférieurement.

Soit une famille de fonctions semi-continues inférieurement de X dans et

pour tout dans . Alors est semi-continue inférieurement. En effet, pour tout réel , l'ensemble

est la réunion des ensembles  : c'est une réunion d'ouverts, il est donc lui-même ouvert.

Par contre, même si toutes les fonctions sont continues, n'est pas nécessairement continue : en fait, sur un espace uniforme, toute fonction semi-continue inférieurement est le sup d'une famille de fonctions continues (sur un espace métrique cette famille peut même être choisie dénombrable).

La fonction indicatrice de tout ouvert est semi-continue inférieurement. La fonction indicatrice de tout fermé est semi-continue supérieurement.

Si est un compact (par exemple un intervalle fermé de ) et si est semi-continue supérieurement, alors est majorée sur et atteint sa borne supérieure. La propriété est analogue pour la borne inférieure d'une fonction semi-continue inférieurement. Ces propriétés généralisent le théorème des bornes.

Définition formelle

Soit un espace topologique, un point de et une fonction. On dit que est semi-continue supérieurement en si pour tout , il existe un voisinage de tel que pour tout de . De manière équivalente, on peut exprimer cela par :

où limsup est la limite supérieure (d'une fonction au point ).

La fonction est dite semi-continue supérieurement si et seulement si elle est semi-continue supérieurement en tout point de X. Elle est donc semi-continue supérieurement si et seulement si est un ouvert pour tout .

De même, la semi-continuité inférieure en s'exprime par :

et est dite semi-continue inférieurement si et seulement si elle est semi-continue inférieurement en tout point de X, ou encore si et seulement si est un ouvert pour tout .