Variable aléatoire réelle - Définition et Explications

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Introduction

Un exemple de variable aléatoire :
la fonction qui associe au résultat du jet de deux dés la somme de leurs valeurs

Une variable aléatoire réelle est une variable aléatoire (Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire, telle qu'il soit possible de déterminer la probabilité pour qu'elle prenne une valeur donnée ou qu'elle prenne une valeur...) à valeurs dans \ \scriptstyle \R\ , ou une partie de \ \scriptstyle \R\  ; c'est une fonction définie depuis l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) des résultats possibles d'une expérience aléatoire, dont on doit pouvoir déterminer la probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des...) qu'elle prenne une valeur donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) ou un ensemble donné de valeurs. Les variables aléatoires réelles sont les variables aléatoires les plus couramment étudiées, ce qui conduit certains auteurs à omettre l'adjectif réel, et à parler de variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une variable peut aussi...) aléatoire tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) court.

Les variables aléatoires sont très utilisées en théorie des probabilités (La théorie des probabilités est l'étude mathématique des phénomènes caractérisés par le hasard et l'incertitude. Les objets centraux de la théorie des probabilités sont les variables...) et en statistiques. Dans les applications, les variables aléatoires sont utilisées pour modéliser le résultat d'un mécanisme non-déterministe ou encore comme le résultat d'une expérience non-déterministe qui génère un résultat aléatoire. En statistique (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de...) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...) ou inférentielle, les variables aléatoires servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) généralement à modéliser des populations supposées infinies.

  • L'article qui suit traite les variables aléatoires réelles
  • L'article Variable aléatoire généralise cet article au cas non réel sous l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) de la mesure
  • L'article Variables aléatoires élémentaires (La notion de variable aléatoire réelle est utilisée dès que le résultat d’une expérience aléatoire est quantifiable. Elle est née de considération sur les jeux...) aborde la notion de variable aléatoire d'une manière plus intuitive

Détails

  • À l'origine, une variable était une fonction de gain, qui représentait le gain obtenu à l'issue du résultat d'un jeu. Par exemple, supposons qu'un joueur lance un dé et que celui-ci gagne 1€ s'il amène un six et perde 10€ s'il amène un autre résultat. Alors il est possible de définir la variable aléatoire de gain qui associe 1 au résultat « six » et -10 à un résultat inintéressant. La probabilité pour que la variable aléatoire prenne la valeur 1 correspond exactement à la probabilité pour que le joueur gagne 1€.
  • La variable aléatoire réelle (Une variable aléatoire réelle est une variable aléatoire à valeurs dans , ou une partie de  ; c'est une fonction définie depuis l'ensemble des résultats possibles d'une...) la plus simple est donnée par le résultat d'un lancer au jeu de pile ou face, qui vaut pile ou face. Un autre exemple simple est donné par le résultat d'un jet de dés, pour lequel les valeurs possibles sont 1, 2, 3, 4, 5, 6 (si le dé est classiquement cubique). De telles variables aléatoires réelles sont qualifiées de discrètes car elles prennent des valeurs bien séparées. A contrario, la mesure de la taille d'un individu (Le Wiktionnaire est un projet de dictionnaire libre et gratuit similaire à Wikipédia (tous deux sont soutenus par la fondation Wikimedia).) pris au hasard (Dans le langage ordinaire, le mot hasard est utilisé pour exprimer un manque efficient, sinon de causes, au moins d'une reconnaissance de cause à effet d'un événement.) dans une population ressemble davantage à un nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres rationnels, qui modélise la notion de longueur et d'autres grandeurs...) positif (cela n'est pas tout à fait vrai non plus, car des questions ergonomiques rendent d'autant plus improbable l'énoncé d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) qu'il comporte de décimales significatives; l'attracteur (Dans l'étude des systèmes dynamiques, un attracteur (ou ensemble-limite) est un ensemble, une courbe ou un espace vers lequel un système évolue de façon...) est en fait un fractal). Cette variable aléatoire réelle est alors qualifiée par convention de continue. L'étude de la répartition des valeurs prises par une variable aléatoire conduit à la notion de loi de probabilité (En théorie des probabilités et en statistique, une loi de probabilité décrit soit les probabilités de chaque valeur d'une variable...).
  • En mathématiques, et plus précisément en théorie des probabilités, une variable aléatoire est une fonction mesurable (Soient E et F des espaces mesurables munis respectivement d'une tribu et .) définie sur un espace de probabilités. La mesure image correspondante est appelée loi de la variable aléatoire. Ce type de fonction permet de modéliser un phénomène aléatoire, comme par exemple le résultat d'un jet de dés. Une propriété intéressante de l'intégrale de Lebesgue (En mathématiques dans la branche de l'analyse réelle, l'intégrale de Lebesgue est une intégrale représentative d'une théorie qui étend la notion d'intégrale représentant l'aire du domaine sous...) fait qu'un évènement de probabilité strictement nulle n'est pas nécessairement impossible au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...) strict du terme (ainsi, considérons un réel tiré au hasard dans l'intervalle [0, 1] ; la probabilité qu'il soit rationnel est nulle, alors que les rationnels constituent dans cet intervalle un ensemble infini (En mathématiques, un ensemble est infini s'il n'est pas fini, c'est-à-dire s'il contient un nombre infini d'éléments. En d'autres termes, si E est un ensemble...), et même partout dense).
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