Partie entière - Définition et Explications

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En mathématiques, la fonction partie entière est la fonction définie de la manière suivante :

Pour tout nombre réel x, la partie entière notée E(x) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x.
Par exemple : E(2,3) = 2, E(−2) = −2 et E(−2,3) = −3.

La fonction partie entière (En mathématiques, la fonction partie entière est la fonction définie de la manière...) est aussi notée \left[ x \right] (ou \left\lfloor x \right\rfloor par les anglo-saxons).

On a toujours :

\left\lfloor x \right\rfloor \le x < \left\lfloor x \right\rfloor + 1

avec égalité si et seulement si x est un entier relatif (En mathématiques, un entier relatif se présente comme un entier naturel muni d'un signe...).

Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) entier relatif k et et pour tout nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres...) x, on a

\left\lfloor x + k \right\rfloor = \left\lfloor x \right\rfloor + k

L’arrondi à l’entier le plus proche d’un réel x peut être exprimé par E(x + 0,5).

La fonction partie entière n’est pas continue, mais est continue à droite. En fait elle est constante sur tout intervalle de la forme [k, k+1[ et n’est pas continue en les entiers relatifs.

Une autre fonction mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) du même type est la fonction " plafond " ou partie entière par excès ou partie entière supérieure (ceiling en anglais), définie de la manière suivante :

Pour tout nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) réel x donné, plafond (Par extension, un plafond représente le maximum de quelque chose :) de x noté P(x) est le plus petit entier supérieur ou égal à x.
Par exemple : P(2,3) = 3, P(2) = 2 et P(−2,3) = −2.

La fonction plafond est aussi notée \left\lceil x \right\rceil.

Il est facile de montrer que :

\left\lceil x \right\rceil = - \left\lfloor -x \right\rfloor

et que :

x \leq \left\lceil x \right\rceil < x + 1

Pour tout entier relatif k, on a aussi l’égalité suivante :

\left\lfloor k / 2 \right\rfloor + \left\lceil k / 2 \right\rceil = k.

Si m et n sont des entiers naturels premiers entre eux alors

\sum_{k = 1}^{n - 1} \left\lfloor \frac{k m}{n} \right\rfloor = \frac{(m - 1)(n - 1)}{2}
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