Partie entière
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En mathématiques, la fonction partie entière est la fonction définie de la manière suivante :

Pour tout nombre réel x, la partie entière notée E(x) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x.
Par exemple : E(2,3) = 2, E(−2) = −2 et E(−2,3) = −3.

La fonction partie entière (En mathématiques, la fonction partie entière est la fonction définie de la manière suivante :) est aussi notée \left[ x \right] (ou \left\lfloor x \right\rfloor par les anglo-saxons).

On a toujours :

\left\lfloor x \right\rfloor \le x < \left\lfloor x \right\rfloor + 1

avec égalité si et seulement si x est un entier relatif.

Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) entier relatif k et et pour tout nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) réel x, on a

\left\lfloor x + k \right\rfloor = \left\lfloor x \right\rfloor + k

L’arrondi à l’entier le plus proche d’un réel x peut être exprimé par E(x + 0,5).

La fonction partie entière n’est pas continue, mais est continue à droite. En fait elle est constante sur tout intervalle de la forme [k, k+1[ et n’est pas continue en les entiers relatifs.

Une autre fonction mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les...) du même type est la fonction " plafond " ou partie entière par excès ou partie entière supérieure (ceiling en anglais), définie de la manière suivante :

Pour tout nombre réel x donné, plafond (Par extension, un plafond représente le maximum de quelque chose :) de x noté P(x) est le plus petit entier supérieur ou égal à x.
Par exemple : P(2,3) = 3, P(2) = 2 et P(−2,3) = −2.

La fonction plafond est aussi notée \left\lceil x \right\rceil.

Il est facile de montrer que :

\left\lceil x \right\rceil = - \left\lfloor -x \right\rfloor

et que :

x \leq \left\lceil x \right\rceil < x + 1

Pour tout entier relatif k, on a aussi l’égalité suivante :

\left\lfloor k / 2 \right\rfloor + \left\lceil k / 2 \right\rceil = k.

Si m et n sont des entiers naturels premiers entre eux alors

\sum_{k = 1}^{n - 1} \left\lfloor \frac{k m}{n} \right\rfloor = \frac{(m - 1)(n - 1)}{2}
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