Théorème de Tychonov - Définition

Remarque

On peut donner une démonstration élégante de ce théorème en utilisant la théorie des filtres

Démonstration dans le cas général

On va utiliser la propriété de Borel-Lebesgue pour les fermés: un espace X est compact si seulement si il est séparé et pour toute famille de fermés de X dont l'intersection finie d'éléments est non vide, alors: est non vide. Comme tout produit de séparés est séparé pour la topologie produit, il reste à prouver que le produit de compacts vérifie la propriété de Borel-Lebesgue, et ce en utilisant le lemme de Zorn.

Soit donc une famille de compacts, et soit une famille de fermés de dont l'intersection finie d'éléments est non vide. On notera p_α la projection sur X_α.

On va considérer l'ensemble des familles contenant (au sens de l'inclusion) et dont les intersections finie d'éléments sont non vides: c'est un ensemble ordonné par l'inclusion et inductif: il vérifie donc les hypothèses du lemme de Zorn, et admet donc un élément maximal .

Soit fixé. Comme l'intersection finie d'éléments de est non vide, c'est aussi le cas de l'intersection finie de projections sur X_α d'éléments de , donc de l'adhérence de tels éléments: ainsi la famille vérifie les hypothèses de la propriété de Borel-Lebesgue dans X_α compact, donc : soit donc x_α élément de cette intersection.

On va alors considérer l'élément du produit et montrer qu'il est bien dans l'intersection des éléments de , qui sera alors non vide ce qui achèvera la preuve.

On remarque tout d'abord que par maximalité, (L1): est stable par intersection finie: sinon il existe tels que , alors l'intersection d'éléments de est non vide, et il contient tout en étant strictement plus grand que : absurde par maximalité de celui-ci.

Par un argument similaire, on en déduit que (L2): si un ensemble intersecte tous les éléments de , alors il appartient à .

Soit U ouvert de contenant x: il existe ouverts respectifs de tels que .

Alors soit , on a , ainsi , or ouvert donc , donc . Alors par (L2), .

Donc par (L1), , donc U intersecte tous les éléments de , a fortiori de .

Ainsi x est dans l'adhérence de tous les éléments de qui sont fermés, donc x appartient à tous les éléments de dont l'intersection est donc non vide, ce qui achève la preuve.

Équivalence avec l'axiome du choix

Nous avons précédemment évoqué l'équivalence du théorème de Tychonov avec l'axiome du choix. Cette équivalence, bien qu'a priori surprenante, se comprend mieux en remarquant que l'on peut définir une topologie sur un ensemble quelconque. En l'occurrence, nous allons utiliser une légère variante de la topologie cofinie, qui possède une propriété très intéressante: tout espace est compact pour la topologie cofinie.

Soit donc une famille d'ensemble, nous voulons montrer . On suppose, quitte à réindexer par un ensemble I' que . Alors, on pose , et on munit X_i de la topologie τ_i formée de l'ensemble vide, de tous les ensembles de complémentaire fini, et du singleton {i} (On vérifiera qu'on a alors bien une topologie, et que X_i est alors compact). Par Tychonov, le produit X des X_i est compact.

On remarque que, en notant p_i la projection sur X_i, on a: . Or X est compact: pour montrer que on va se servir de la contraposée de la propriété de Borel-Lebesgue pour les fermés: si chaque est fermé et que toute intersection finie de est non vide, alors l'intersection des est non vide, ce qui achèvera la preuve.

Or comme A_i est le complémentaire de {i} ouvert, A_i est fermé. Donc par continuité de la projection p_i, est fermé. De plus soit , alors qui est non vide: en effet en choisissant a₁..a_n éléments respectifs de A₁..A_n on peut définir par f(i₁) = a₁..f(i_n) = a_n et f(i) = i si : on a donc bien la propriété annoncée.