Ensemble vide
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En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.

Notation

L'ensemble vide peut être noté \varnothing \, (qui dérive de la lettre Ø de l'alphabet norvégien et qui est parfois confondue avec la lettre grecque Φ), ou simplement {}, deux accolades ouvrantes et fermantes ne contenant... rien. La notation Ø a été introduite par le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large palette de...) français André Weil du groupe Bourbaki.

Propriétés

  • Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout »,...) A, l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.) est un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il peut par contre y avoir...) de A :
    A ensemble, Ø ⊂ A
  • Pour tout ensemble A, l'union de A avec l'ensemble vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) est A :
    A ensemble, Ø ∪ A = A
  • Pour tout ensemble A, l'intersection de A avec l'ensemble vide est l'ensemble vide :
    A ensemble, Ø ∩ A = Ø
  • Le seul sous-ensemble de l'ensemble vide est l'ensemble vide lui-même. :
    A ensemble, A ⊂ Ø ⇒ A = Ø
  • Le cardinal de l'ensemble vide est zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans...), en particulier l'ensemble vide est fini :
    Card(Ø) = 0

Les mathématiciens préfèrent parler de l`ensemble vide plutôt que d`un ensemble vide. En effet, dans la théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.), deux ensembles sont égaux s'ils contiennent les mêmes éléments : ainsi, il ne peut y avoir qu'un ensemble ne contenant aucun élément.

Difficultés de la notion d'ensemble vide

L'ensemble vide ne correspond pas à rien ; c'est en fait un ensemble qui ne contient rien, mais en tant qu'ensemble il n'est pas rien. Ce point (Graphie) est souvent difficile à saisir au premier abord. On peut, afin de mieux comprendre, comparer un ensemble à un sac : un sac vide est vide, mais le sac en lui même existe.

De même, la notation {Ø} n'a pas le même sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) que Ø. La dernière notation décrit un ensemble qui ne contient rien alors que le premier décrit un ensemble contenant un élément : l'ensemble vide. On peut, afin de mieux comprendre, reprendre l'analogie du sac vide. Un tiroir contenant un sac vide - {Ø} - n'est pas vide - Ø - et contient bien un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise,...).

On peut aussi être choqué par la première propriété ci-dessus, c'est-à-dire le fait que l'ensemble vide soit un sous-ensemble de n'importe quel ensemble A. D'après la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) d'un sous-ensemble, cela veut dire que pour tout élément x de Ø, x appartient à A. Raisonnons a contrario : si l'ensemble vide n'est pas inclus dans A, alors il existe au moins un élément de l'ensemble vide qui n'appartient pas à A. Or, il n'y a aucun élément dans l'ensemble vide, donc plus particulièrement aucun élément de l'ensemble vide qui n'appartienne pas à A. On en conclut donc que tout élément de Ø appartient à A et donc que Ø est un sous-ensemble de A. Plus généralement, toute proposition commençant par " pour tout élément de Ø " est vraie.

L'ensemble vide dans la théorie axiomatique des ensembles (Il existe plusieurs versions formelles de la théorie des ensembles, mais quand on parle de « la » théorie axiomatique des ensembles, on désigne habituellement sous ce nom la théorie ZFC. Au XXIe siècle, c'est la...)

L'ensemble vide est essentiel dans la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) axiomatique des ensembles ou théorie ZFC, son existence est assurée par l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une...) de l'ensemble vide. Son unicité découle de l'axiome d'extensionnalité.

De plus, on peut démontrer en utilisant le schéma d'axiomes de compréhension, que l'existence d'un ensemble quelconque implique l'axiome de l'ensemble vide, ce qui évite, quand on formalise la théorie des ensembles en logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une...) du premier ordre, de faire appel à un axiome spécifique pour l'existence de l'ensemble vide (voir axiome de l'ensemble vide).

Le point de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) catégorique

L'ensemble vide peut être caractérisé très simplement comme objet de la catégorie des ensembles. C'est en effet l'unique objet ayant la propriété suivante:

Pour tout ensemble E, il existe une et une seule flèche de Ø vers E.

Bien entendu, dans le cas de cette catégorie, flèche signifie application. Plus généralement, un objet qui dans une catégorie a cette propriété est appelé un objet initial.

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