Aleph-zéro
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Aleph-zero, parfois noté aleph0 ou \aleph_0 (?, aleph, étant la première lettre de l'alphabet hébreu), est le cardinal des ensembles infinis dénombrables, comme l'ensemble des entiers naturels \mathbb{N}.

Propriétés

Si l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en...) du choix est utilisé, il est possible de prouver que la classe des nombres cardinaux est totalement ordonnée : \aleph_0 est dans ce cas le plus petit nombre cardinal (En linguistique, les nombres entiers naturels zéro, un, deux, trois, etc. s'appellent des adjectifs numéraux cardinaux. En mathématiques, un nombre cardinal est une extension de cette notion pour dénombrer les...) infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en...).

Le cardinal d'un ensemble infini (En mathématiques, un ensemble est infini s'il n'est pas fini, c'est-à-dire s'il contient un nombre infini d'éléments. En d'autres termes, si E est un ensemble infini...) continu, comme l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui...) des nombres réels \mathbb{R}, est égal à 2^{\aleph_0}. Si on accepte l'hypothèse du continu, 2^{\aleph_0} est égal à \aleph_1 (aleph-un).

Ensembles infinis dénombrables

Un ensemble infini est dit dénombrable, donc de cardinal \aleph_0, s'il existe une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que f(x) = y. On dit...) entre lui-même et l'ensemble des entiers naturels.

Les ensembles suivants, entre autres, sont de cardinal \aleph_0 :

  • L'ensemble des entiers naturels \mathbb{N}
  • L'ensemble des entiers relatifs \mathbb{Z}
  • L'ensemble des nombres rationnels \mathbb{Q}
  • L'ensemble des entiers pairs
  • L'ensemble des nombres premiers
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