Ensemble infini - Définition et Explications

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En mathématiques, un ensemble est infini s'il n'est pas fini, c'est-à-dire s'il contient un nombre infini d'éléments.
En d'autres termes, si E est un ensemble infini alors \mathrm{card}(E) \notin \mathbb{N}  : Le cardinal de E n'est pas un entier naturel (En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement de dénombrer des objets comptant chacun pour un. Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en...). On dit que c'est un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) transfini.

La classe la plus simple des ensembles infinis est la classe des ensembles infinis dits dénombrables (équipotents à \mathbb{N}). Une autre classe d'ensembles infinis est la classe des ensembles équipotents à \mathbb R qui sont parfois appelés ensembles continus. Se pose alors le problème de l'hypothèse du continu : existe-t-il un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) dont le cardinal est strictement compris entre \aleph_0, qui est le cardinal de \mathbb N et 2^{\aleph_0} qui est le cardinal de \mathbb{R}. Cette proposition est indécidable dans le système d'axiomes ZFC (En mathématiques, l'abréviation ZF désigne la théorie de Zermelo-Fraenkel, ZFC quand elle comprend l'axiome du choix, théorie axiomatique des ensembles la plus couramment utilisée en mathématiques contemporaines. Bien que...).

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