Fonction de Clausen
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En mathématiques, la fonction de Clausen est définie par l'intégrale suivante :

Plus généralement, on définit

\operatorname{Cl}_s(\theta) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n\theta)}{n^s}.

Elle est reliée au polylogarithme par

\operatorname{Cl}_s(\theta) = \Im (\operatorname{Li}_s(\exp(i \theta))).

Ernst Kummer et Rogers donnent la relation

\operatorname{Li}_2(\exp(i \theta)) = \zeta(2) - \theta(2\pi-\theta) + i\operatorname{Cl}_2(\theta)

valide pour 0\leq \theta \leq 2\pi.

Pour les valeurs rationnelles de \frac{\theta}{\pi}\, (c’est-à-dire, pour \frac{\theta}{\pi}=\frac{p}{q}\, pour certains entiers p et q), la fonction \sin(n\theta)\, peut être comprise comme représentant une orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que dessine dans l'espace un corps autour d'un autre corps sous l'effet de la gravitation.) périodique d'un élément dans le groupe cyclique, et ainsi \operatorname{Cl}_s(\theta)\, peut être exprimé comme une simple somme impliquant la fonction zeta (La fonction zeta (d'après la lettre grecque zêta, ou ζ) est le nom de nombreuses fonctions en mathématiques. La plus connue est la fonction zeta de Riemann.) d'Hurwitz.

Valeur spéciale

On peut noter l'évaluation suivante :

\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{2}\right)=K

K est la constante de Catalan (En mathématiques, la constante de Catalan, nommée d'après le mathématicien Eugène Charles Catalan, est le nombre défini par :).

Publications en langue anglaise

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York (New York , en anglais New York City (officiellement, City of New York) pour la distinguer de l’État de New York, est la principale ville des États-Unis, elle...). ISBN 486-61272-4 . See section 27.8
  • Leonard Lewin, (Ed.). Structural Properties of Polylogarithms (1991) American Mathematical Society, Providence, RI. ISBN 0-8218-4532-2
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