Moment (mathématiques)
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Notion de moment

La notion de moment en mathématiques, notamment en calcul des probabilités, a pour origine la notion de moment en physique.

Soit une fonction f : I \to \R continue sur un intervalle \ I (non réduit à un point) de \R. Étant donné un entier naturel n, le n-ième moment de \ f est défini (sous réserve d'existence) par :

m_n(f)=\int_I x^n\,f(x)\,dx.

Remarque : pour un entier naturel n donné, l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des fonctions continues sur \ I dont le moment d'ordre n existe est un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) réel, et l'application \ m_n : f \mapsto m_n(f) est une forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications linéaires. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée par le fait qu'elles jouent un...) sur cet espace vectoriel.

Problème des moments

On peut se demander si une fonction continue \ f : I \to \R dont tous les moments existent est déterminée par la suite de ses moments. Cette question est appelée problème des moments.

En d'autres termes : soient deux fonctions continues f, g : I \to \R dont chacune admet, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) entier naturel n, un moment d'ordre n. Si, pour tout n \in \mathbb{N},\; m_n(f)= m_n(g), peut-on affirmer que \ f = g ?

  • D'après un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement...) de Hausdorff, la réponse est affirmative lorsque \ I est un segment [a,\, b] (c'est-à-dire lorsqu'il est fermé et borné).
Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un...) de ce théorème :
La fonction \ h = f - g est continue sur \ I, et tous ses moments sont nuls, car pour tout \ n, \ m_n(h) = m_n(f) - m_n(g).
On en déduit, par linéarité de l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à...), que \int_a^b P(x)\,h(x)\,dx = 0 quel que soit le polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en...) réel \ P ;
en effet, si \ P = \sum_{k = 0}^p a_k\, X^k, alors \int_a^b P(x)\,h(x)\,dx = \sum_{k = 0}^p a_k\, m_k(h) = 0.
Or, d'après un théorème de Weierstrass, pour toute fonction continue [a,\, b] \to \R, il existe une suite de polynômes (réels) convergeant uniformément sur [a,\, b] vers cette fonction. Il existe donc une suite \ (P_n) de polynômes qui converge uniformément vers \ h sur [a,\, b]. Alors, la suite des produits \ (P_n\, h) converge uniformément vers \ h^2 sur \ [a,\, b] et il en résulte que \int_a^b [h(x)]^2\,dx = \lim_{n \to +\infty} \int_a^b P_n(x)\,h(x)\,dx = 0.
Comme \ h est continue sur le segment \ [a,\, b], ceci prouve que \ h = 0, c'est-à-dire \ f = g.
  • Dans le cas général, la réponse est négative. Voici un contre-exemple (En mathématiques, un contre-exemple est un exemple, un cas particulier ou un résultat général, qui contredit les premières impressions. Un contre-exemple peut aussi être donné pour rejeter une conjecture,...) probabiliste donné par William Feller. On considère la fonction \ f :\, ]0,\, +\infty[\, \to \R^+ définie par \ f(x) = \frac{1}{x\, \sqrt{2 \pi}}\, e^{-\frac{1}{2}\, (\ln x)^2} (densité de la loi log-normale), dont tous les moments existent.
On démontre (par changement de variable) que pour tout entier naturel \ n, \int_0^{+\infty} x^n f(x) \sin(2 \pi \ln x)\, dx  = 0.
Pour tout \ \alpha \in \R, on définit \ g_\alpha :\, ]0,\, +\infty[\, \to \R par \ g_\alpha(x) = f(x)\, [1 + \alpha \sin(2 \pi \ln x)].
Alors : quels que soient \ \alpha \in \R et \ n \in \mathbb{N}, \ m_n(g_\alpha) = m_n(f), bien que \ g_\alpha \neq f dès que \ \alpha \neq 0.
Nota : pour tout \ \alpha \in \R, \int_0^{+\infty} g_\alpha(x)\, dx = 1 car \ m_0(g_\alpha) = m_0(f). Or, si on prend \ \alpha \in [-1,\, +1], \ g_\alpha est à valeurs positives : dans ce cas, \ g_\alpha est une densité de probabilité (En mathématiques statistiques, on appelle densité de probabilité d'une variable aléatoire X réelle continue une fonction f) portée par \R^\star_+\,, distincte de \ f si \ \alpha \neq 0, dont tous les moments existent et sont les mêmes que ceux de \ f. Ceci prouve que la loi log-normale n'est pas déterminée par ses moments.
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