Limites de référence - Définition

Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires

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Cette page est une annexe de l'article Limite (mathématiques élémentaires), conçue pour être une liste la plus complète possible des limites des suites usuelles, et des limites des fonctions usuelles partout où il y a lieu d'étudier une limite, c'est-à-dire aux bornes du domaine de définition.

En effet la plupart des fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition donc si , on a .

Fonctions polynômes et rationnelles

Fonctions constantes

avec

Monômes..

, avec

• En  :

• En  :

• • Pour n pair :

• • Pour n impair :

..et leurs inverses

, avec

• En  :

• En les fonctions ne sont pas définies :

• • Pour n pair :

• • Pour n impair :

0} \frac{1}{x^n} = +\infty \,\!" >

Polynômes

Les limites en d'un polynôme avec sont les mêmes que celles du terme de plus haut degré , dit terme prédominant.

On se rapporte donc à l'étude des monômes, et on conclut selon la parité de et le signe de .

Monômes de puissance quelconque

• Puissances positives :

, avec 0 \,\!" >

Cas particulier : donne et :

• Puissances négatives :

, avec

O} x^\alpha = +\infty \,\!" >

Fonctions logarithmes, exponentielle et puissances

Logarithmes

• Logarithme népérien (ou naturel) :

O} \ln(x) = -\infty \,\!" >

• Logarithme de base a

, avec 0 \,\!" >

• • Base a > 1 :

O} \log_a(x) = -\infty \,\!" >

• • Base a < 1 :

O} \log_a(x) = +\infty \,\!" >

Exponentielle et puissance d'un réel positif

• La fonction exponentielle

• Puissance d'un nombre positif a

avec a > 0.

• • Base a > 1 :

• • Base a < 1 :

Fonctions trigonométriques et hyperboliques

Fonctions trigonométriques

• Tangente :

.

Alors pour tout entier relatif  :

-\frac{\pi}{2} + k \pi} \tan(x) = -\infty \,\!" >

• Cotangente :

.

Alors pour tout entier relatif  :

k \pi} \cot(x) = -\infty \,\!" >

• Autres fonctions trigonométriques :

Fonctions hyperboliques

• Sinus hyperbolique :

• Cosinus hyperbolique :

• Tangente hyperbolique :

Fonctions réciproques

• Arc tangente : operatorname{

• Argument sinus hyperbolique :

• Argument cosinus hyperbolique :

• Argument tangente hyperbolique :

Suites usuelles

Une suite est en général définie terme-à-terme en fonction de n :

ou alors définie par son premier terme et une relation de récurrence :

Dans le premier cas l'étude de la limite est simplement celle de la limite de la fonction en  ; dans le second l'étude est souvent plus difficile. On peut cependant conclure directement dans certains cas particuliers.

Suites arithmétiques

* Voir article détaillé : suite arithmétique

Dans ce cas et est appelé la raison de la suite  : on peut donner une expression directe de  : .

• Si 0 \,\!" > on a :

• Si on a :

Suites géométriques

• Voir article détaillé: suite géométrique

Dans ce cas et est encore appelé la raison de la suite  : on peut donner une expression directe de  : .

• Si on a :

• Si on a :

• Si 1 \,\!" > on a :

• Si alors n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs vérifient :

Suites arithmético-géométriques

• Voir article détaillé : suite arithmético-géométrique

Dans ce cas (avec ) et on peut donner une expression directe de  : .

• Si on a :

• Si 1 \,\!" > on a :

• Si alors n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs vérifient :

Suites homographiques

Dans ce cas (avec et ) et on ne peut pas en général donner d'expression directe de . Cependant on peut déterminer les limites éventuelles selon les valeurs du discriminant de l'équation .

• Si la suite ne peut pas avoir de limite.

• Si la seule limite possible est .

• Si 0 \,\!" > les seules limites possibles sont ou .

Cependant, dans les deux cas précédents, la convergence n'est pas assurée. Il faut étudier selon les valeurs du terme initial la distance pour chaque valeur éventuelle de .