Entier relatif - Définition et Explications

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Introduction

En mathématiques, un entier relatif se présente comme un entier naturel muni d'un signe positif ou négatif qui indique sa position par rapport à zéro sur un axe orienté. Les entiers positifs (supérieurs à zéro) s'identifient aux entiers naturels : 0, 1, 2, 3… tandis que les entiers négatifs sont leur opposés : 0, −1, −2, −3… L'entier zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr,...) lui-même est donc le seul nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) à la fois positif et négatif.

Un nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres...) est entier s'il est sans partie fractionnaire, c'est-à-dire si son écriture décimale ne comprend pas de chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) (autre que zéro) « après la virgule ».

Les entiers relatifs permettent d'exprimer un bilan de variation d'unités (positif pour un gain, négatif pour une perte) ou une position sur un axe orienté discret, par rapport à un point (Graphie) origine. Ils donnent un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) à la différence de deux entiers naturels quelconques.

L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des entiers relatifs est noté « Z », lettre capitale (Une capitale (du latin caput, capitis, tête) est une ville où siègent les pouvoirs,...) grasse dans les textes dactylographiés, peu à peu supplantée par la graphie manuscrite avec une double barre oblique : « \mathbb{Z} ». La présence d'un astérisque en exposant (Exposant peut signifier:) (« Z* ») désigne en général l'ensemble des entiers relatifs non nuls, même si cette notation est utilisée parfois pour l'ensemble des éléments inversibles, c'est-à-dire la paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts...) d'entiers {−1; 1}. La notation « Z » désigne l'ensemble des entiers négatifs. Il est plus rare de trouver la notation « Z+ », remplacée par la notation « N » des entiers naturels par identification.

Cet ensemble est (totalement) ordonné pour la relation de comparaison usuelle héritée des entiers naturels. Il est aussi muni des opérations d'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la...) et de multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...) qui fondent la notion d'anneau en algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...).

Les entiers relatifs sont parfois appelés entiers rationnels, suivant la dénomination rational integer en anglais, et comme cas particuliers d'entiers algébriques sur le corps de nombres des rationnels. On trouve cette appellation chez Nicolas Bourbakiet certains mathématiciens s'inscrivant dans le mouvement des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) modernes, parmi lesquels Georges Papy.

La droite des nombres
La droite des nombres permet de représenter les entiers relatifs

Motivation

La principale raison de l'introduction des nombres négatifs est la possibilité de résoudre toutes les équations de la forme :

a + x = b, où x est l'inconnue et a et b sont des paramètres.

Dans l'ensemble des entiers naturels, seules certaines de ces équations ont une solution.

5 + x = 8 si et seulement si x = 3
9 + x = 4 n'a pas de solution dans l'ensemble des entiers naturels. Elle possède une solution dans l'ensemble des entiers relatifs qui est -5.

Règles opératoires

Dans un nombre relatif, on distingue son signe (+ ou - ) et sa valeur absolue : - 3 a pour valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.) 3.

Addition

La somme de deux entiers de même signe s'obtient en additionnant les deux valeurs absolues et en conservant le signe commun

(-3) + (-5) = -8 écriture que l'on abrège en -3 - 5 = - 8 supprimant le signe opératoire +

La somme de deux entiers relatifs de signe contraire s'obtient en calculant la différence entre les deux valeurs absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un...) et en lui affectant le signe de l'entier ayant la plus grande valeur absolue

(+3) + (-5) = - 2 écriture que l'on abrège en 3 - 5 = - 2

Multiplication

Le résultat d'une multiplication s'appelle un produit. Le produit de deux nombres relatifs de même signe est toujours positif (+) et s'obtient en effectuant le produit des valeurs absolues:

(+3) × (+4) = +12 que l'on abrège en 3 × 4 = 12
(-3) × (-7)= + 21 = 21

(le + n'étant pas obligatoire si le produit n'est pas négatif)

Le produit de deux nombres relatifs de signes différents est toujours négatif (-) et s'obtient en effectuant le produit des valeurs absolues

(+7) × (- 4) = - 28

Règle des signes

plus multiplié par plus, donne produit plus.
moins multiplié par moins, donne produit plus
moins multiplié par plus ou plus multiplié par moins donne produit moins
Page générée en 0.098 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique