Divergence (analyse vectorielle)

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Introduction

Articles d'analyse vectorielle

Objets d'étude
Champ vectoriel	Champ scalaire
Équation aux dérivées partielles
de Laplace	de Poisson
Opérateurs
Nabla	Gradient
Rotationnel	Divergence
Laplacien scalaire	Bilaplacien
Laplacien vectoriel	D'alembertien
Théorèmes
de Green	de Stokes
de Helmholtz	de flux-divergence
du gradient	du rotationnel

En géométrie, la divergence d'un champ de vecteurs X mesure le défaut à ce que son flot préserve une forme volume Ω. La divergence de X, notée div X, est une fonction à valeurs réelles qui mesure la variation première de Ω le long des trajectoires du champ X. Des définitions plus précises sont données dans le corpus de l'article. L'opérateur divergence est un opérateur différentiel linéaire aux dérivées partielles premières, qui envoie un champ tensoriel d'ordre k en un champ d'ordre k − 1.

En raison de son utilisation dans les calculs de flux de champ de vecteurs, il intervient en physique pour exprimer des lois de conservation ainsi que pour la formulation locale des lois physiques faisant intervenir un champ suivant une loi en carré inverse de la distance. L'opérateur divergence est notamment utilisé dans les équations de la mécanique des fluides ou les équations de Maxwell.

Divergence d'un champ de vecteurs

Définition en dimension 3

En dimension 3 et en coordonnées cartésiennes, la divergence d'un champ de vecteurs $\vec{A}=\begin{pmatrix}A_x\A_y\A_z\end{pmatrix}$ a pour expression

$\operatorname{div}\vec A = \frac{\part A_x }{\part x }+\frac{\part A_y }{\part y }+\frac{\part A_z }{\part z }$ (0)

Formellement, l'opérateur divergence appliqué à un champ vectoriel $A$ est aussi le produit scalaire du vecteur nabla $\nabla$ par le vecteur $A$ .

\vec\nabla \cdot \vec A = \operatorname{div}\vec A = \frac{\part{A_x}}{\part{x}}+\frac{\part{A_y}}{\part{y}}+\frac{\part{A_z}}{\part{z}}

Cette définition a le désavantage d'être dépendante du choix d'une base orthonormée.

Définition en fonction d'une forme volume

Etant donnée une forme volume Ω sur un ouvert U de $R^{n}$ , la divergence d'un champ de vecteurs X est définie par la relation suivante :

$d [ι (X) Ω] = (div X) Ω$ . (1)

Dans cette égalité, ι(X)Ω désigne le produit intérieur de Ω par le champ X ; c'est une n − 1 forme différentielle. Sa dérivée extérieure $d [ι (X) Ω]$ est une n-forme différentielle, et s'écrit donc sous la forme − fΩ où la fonction f est appelée la divergence de X. Comme Ω est une forme différentielle fermée, l'égalité (1) se réécrit sous la forme

$L_{X} Ω = (div X) Ω$ , (2)

où $\mathcal{L}_X=\mathrm d\iota(X)+\iota(X)\mathrm\mathrm d$ est la dérivée de Lie dans la direction X. L'égalité (0) fournit l'expression de div X en fonction des coordonnées de X, pour le volume de Lebesgue. Les définitions, ici exprimées sur des ouverts de $R^{n}$ , s'étendent mot pour mot aux variétés différentielles.

Si le champ X est intégrable, il définit un flot $φ_{t}$ (la trajectoire de x étant $t \mapsto φ_{t} (x)$ ). L'égalité (2) donne

$\frac{d}{d t}_{t = 0} φ_{t}^{*} Ω = - (div X) Ω$ . (3)

En particulier, le flot de X conserve le volume (c’est-à-dire $vol (φ_{t} (D)) = vol (D)$ pour tout domaine D de U) si et seulement si la divergence est partout nulle. Le volume augmente si la divergence est positive, diminue si elle est négative.

Définition en géométrie Riemannienne

Pour le volume de Lebesgue, la divergence de X s'exprime explicitement

$div X = Tr (D X)$ . (4)

Ici, le champ X est considéré comme une application de U dans $R^{n}$ , et DX désigne sa différentielle – la matrice jacobienne –, dont on prend la trace. (Il est rappelé que la définition de la trace ne dépend pas du choix d'une base orthonormée.) Explicitement en coordonnées,

$div X = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial X _{i}}{\partial x _{i}}$ . (5)

Le commentaire qui suit nécessite de connaitre la définition des connexions de Koszul et quelques notions de base en géométrie Riemannienne. Si g est une métrique riemannienne, alors, pour le volume Riemannien, la divergence de X est encore donnée par l'égalité (4), où D s'interprète comme la connexion de Levi-Civita associée à g.

Définition en termes de flux

La divergence peut être définie en termes de flux d'un champ de vecteur. Si D est un domaine régulier relativement compact de U, de bord S, le flux de X à travers S est égal à l'intégrale sur D de la divergence, d'après le théorème de Stokes. Explicitement,

\int_{D} div X Ω = \int_{\partial D} ι (X) Ω = \int_{S} g (X, ν) Ω_{S}

Dans la dernière intégrale, ν est le vecteur unitaire normal sortant de S, et Ω_S est la forme volume sur l'hypersurface S. Cette égalité est valable en toute dimension pour des variétés riemanniennes orientées. Cette égalité est connue sous le nom de « théorème de Green-Ostrogradski » ou « théorème de flux-divergence ».

Une interprétation voisine est la suivante. Soit φ_t le flot du champ $A$ (c’est-à-dire la valeur au temps t de la solution du système différentiel $\frac{d u}{d t} = A (u (t))$ qui vaut x en 0) on a

L_{A} (d x \land d y \land d z) = div A (d x \land d y \land d z)

(on a désigné par L_A l'opérateur dérivée de Lie ; pour les détails et un énoncé plus général, voir opérateur de Laplace-Beltrami).

Propriétés

\operatorname{div}\bigl(\overrightarrow\operatorname{rot}\vec A\bigr) = 0

Cette formule est particulière à la dimension 3. Elle signifie qu'un champ rotationnel est à divergence nulle. Inversement, si un champ de vecteurs $B$ sur un ouvert étoilé de $R^{3}$ est à divergence nulle, il existe un champ $A$ tel que

B = rot A

(on dit alors que $A$ est un potentiel vecteur). Cette propriété, une fois convenablement interprétée en termes de formes différentielles, est une application directe du lemme de Poincaré).

Attention. Le champ newtonien $\frac{r}{r ^{3}}$ est à divergence nulle, mais il n'existe pas de champ de vecteurs $A$ tel que $rot A = \frac{r}{r ^{3}}$ . En effet, si tel était le cas, son flux à travers toute surface fermée serait nul, alors que son flux à travers les sphères centrées à l'origine vaut 4π. En fait, ce champ n'est défini que sur l'espace privé de l'origine, qui n'est pas un ouvert étoilé : le lemme de Poincaré ne s'applique pas.

div (f A) = f div (A) + \nabla f \cdot A

D'après le théorème de Stokes, l'intégrale sur $R^{n}$ de la divergence d'un champ de vecteurs nul en dehors d'une partie bornée est nulle. Par conséquent, si f est une fonction lisse et $A$ un champ de vecteurs, tous deux nuls en dehors d'une partie bornée (cette condition assurant que les intégrales ont un sens),

$\int_{R^{n}} f div A d x_{1} \dots d x_{n} = - \int_{R^{n}} \nabla f \cdot A d x_{1} \dots d x_{n}$ .

Cette propriété s'interprète de la façon suivante. Soient $C^{\infty} (R^{n})$ et $Vect (R^{n})$ respectivement les espaces vectoriels des fonctions lisses et des champs de vecteurs sur $R^{n}$ . On les munit des produits scalaires

$⟨ f, g ⟩ ≑ \int_{R^{n}} f g A d x_{1} \dots d x_{n}$ et $⟨ A, B ⟩ ≑ \int_{R^{n}} A \cdot B d x_{1} \dots d x_{n}$

Alors $⟨ \nabla f, A ⟩ = - ⟨ f, div A ⟩$ , ce qui permet de voir l'opérateur divergence comme le transposé (au signe près) de l'opérateur gradient.

Cette interprétation de la divergence présente l'avantage de se généraliser aussi bien aux variétés riemanniennes qu'aux tenseurs.

div (A \land B) = B \cdot rot A - A \cdot rot B

Une application typique de cette formule est le théorème de Poynting en électromagnétisme.

rot (rot (A)) = grad (div (A)) - Δ (A)

Ces relations, très utilisées en analyse vectorielle, se comprennent mieux dans le cadre des formes différentielles.

Utilisation en physique

Lois de conservation

Illustration représentant un volume V intérieur à la surface fermée (S) dont la normale extérieure en tout point est .

D'une manière générale, la divergence est reliée en physique à l'expression locale de la propriété de conservation d'une grandeur. En considérant une surface fermée quelconque (S), la variation d'une grandeur conservative dans le volume fermé par cette surface est, par définition d'une grandeur conservative, due aux échanges avec l'extérieur (il n'existe pas de sources de création ou d'annihilation d'une grandeur conservative). Le bilan de cette grandeur entre deux instants s'écrit donc uniquement comme la somme du flux de cette grandeur à travers la surface fermée (S) et de la variation temporelle de la grandeur à l'intérieur de la surface (S). Si la grandeur est conservative, ce bilan est nul.

Par exemple, en électromagnétisme, si $J$ est le vecteur densité volumique courant,ρ la densité volumique de charge électrique et V le volume intérieur à la surface (S), la conservation de la charge s'écrit de façon intégrale :

\iint_{(S)} J \cdot n d S + \frac{d}{d t} ∭_{V} ρ d V = 0

ou encore, pour une surface (S) fixe :

\iint_{(S)} J \cdot n d S + ∭_{V} \frac{\partial ρ}{\partial t} d V = 0

avec $n$ est un vecteur unitaire normal en tout point à (S).

La formule d'Ostrogradsky permet de réécrire l'équation précédente en termes de divergence :

∭_{V} div (J) d V + ∭_{V} \frac{\partial ρ}{\partial t} d V = 0

Ce qui mène immédiatement à la relation locale de conservation :

div (J) + \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0

Il est ainsi également possible d'exprimer localement, par exemple dans le cadre de la mécanique des fluides, si ρ est la masse volumique en un point et $V$ le champ des vecteurs vitesse :

$div (ρ V) + \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0$ (équation de continuité).

D'autres lois de conservation font intervenir la divergence de tenseurs d'ordre 2, comme la conservation de la quantité de mouvement en mécanique des fluides. En relativité générale, on montre aussi la nullité de la divergence du tenseur énergie-impulsion.

Champs radiaux en carré inverse de la distance

Lorsqu'une loi d'interaction radiale, due à des sources ponctuelles, varie comme le carré inverse de la distance il est possible d'établir que le flux du champ d'interaction à travers une surface fermée est toujours proportionnel à la quantité de sources présentes à l'intérieur de la surface fermée. Ce type de relation porte généralement en physique le nom de théorème de Gauss. Par exemple, dans le cas du champ électrostatique $E$ , dû aux charges électriques Q_int présentes à l'intérieur de la surface fermée (S) on a la forme intégrale du théorème de Gauss suivante :

\iint_{(S)} E \cdot n d S = \frac{Q _{int}}{ε _{0}}

Grâce au théorème de flux-divergence il est possible d'exprimer une forme locale du théorème de Gauss. L'équation précédente se réécrit :

∭_{V} div E = \frac{Q _{int}}{ε _{0}} = ∭_{V} \frac{ρ}{ε _{0}} d V

si V est le volume délimité par (S) et ρ la densité volumique de charge. On obtient alors immédiatement :

div E = \frac{ρ}{ε _{0}}

qui est la forme locale du théorème de Gauss. Ce type de relation est également possible pour le champ de gravitation :

\operatorname{div} \vec \mathcal{G} = - 4\pi\,G\,\rho

où G est la constante fondamentale de la gravitation, $\vec\mathcal{G}$ le champ de gravitation et ρ la masse volumique.

Flux du champ magnétique

En électromagnétisme il est possible de montrer, à partir de la loi de Biot et Savart, que la divergence du champ magnétique $B$ est nulle :

div B = 0

Cette propriété intrinsèque du champ magnétique permet d'établir que le flux du champ magnétique à travers une surface fermée est toujours nul ; on dit que le champ magnétique est à flux conservatif. En effet, si on appelle (S) la surface fermée considérée et V le volume intérieur à cette surface, on a :

\iint_{(S)} B \cdot n d S = ∭_{V} div (B) d V = 0

Divergence d'un tenseur

Cas des espaces euclidiens

Un tenseur de type (p,q) (p-contravariant et q- covariant) est donné par ses coordonnées $T_{i_{1} i_{2} \dots i_{q}}^{j_{1} j_{2} \dots j_{p}}$ . Sa dérivée covariante est alors par définition le tenseur de type (p,q + 1) donné par $\partial_{i} T_{i_{1} i_{2} \dots i_{q}}^{j_{1} j_{2} \dots j_{p}}$ (on a désigné par $\partial_{i}$ l'opérateur de dérivation par rapport à la i-ième variable). La divergence est le tenseur de type (p − 1,q) défini par

S_{i_{1} i_{2} \dots i_{q}}^{j_{2} \dots j_{p}} = i = 1 \sum n \partial_{i} T_{i_{1} i_{2} \dots i_{q}}^{i j_{2} \dots j_{p}}

Exemple :

La divergence du tenseur

T = i, j \sum T^{ij} \frac{\partial}{\partial x _{i}} \otimes \frac{\partial}{\partial x _{j}}

(qui est de type (2,0)) est le champ de vecteurs

$S = \sum_{i = 1}^{n} S^{i} \frac{\partial}{\partial x _{i}}$ avec $S^{i} = \sum_{j = 1}^{n} \partial_{j} T^{j i}$

Cas général

Cette définition s'étend pratiquement mot pour mot aux tenseurs sur une variété munie d'une connexion. Dans les formules précédentes, on remplace la différentiation $\partial_{i}$ par l'opérateur de différentiation covariante $\nabla_{i}$ , qui à partir d'un tenseur de type (p,q) donne un tenseur de type (p,q + 1), puis on pose

(div T) i_{1} i_{2} \dots i_{q}^{j_{2} \dots j_{p}} = \sum i = 1^{n} \nabla_{i} T_{i_{1} i_{2} \dots i_{q}}^{i j_{2} \dots j_{p}},

ce qui donne un tenseur de type (p − 1,q)

Le cas le plus important est celui des variétés riemanniennes ou pseudo-riemanniennes, munies de leur connexion de Levi-Civita. La métrique permet d'identifier entre eux les tenseurs de même ordre total p + q. La divergence d'un tenseur d'ordre k sera un tenseur d'ordre k − 1.

Les cas les plus utilisés (avec celui des champs de vecteurs vu plus haut) sont ceux des tenseurs symétriques d'ordre 2 et des formes différentielles.