Glossaire topologique

Introduction

Ceci est un glossaire de quelques termes utilisés en topologie.

Ce glossaire est divisé en deux parties. La première traite des concepts généraux, et la seconde liste différents types d'espaces topologiques. Dans ce glossaire, tous les espaces sont supposés topologiques.

Généralités

A

Accessible

Un espace est accessible (ou T₁) lorsque tous ses singletons sont fermés. Pour tout couple de points distincts, chacun d'eux possède un voisinage qui ne contient pas l'autre. En particulier, c'est un espace de Kolmogorov. Tout point d'un espace T₁ est intersection de ses voisinages. Un espace E infini dont les ouverts non vides sont les complémentaires des parties finies (c'est-à-dire muni de la topologie cofinie) est T₁ mais pas T₂.

Adhérence

Dans un espace topologique l'adhérence ou fermeture d'une partie est le plus petit fermé contenant celle-ci. Un point est dit adhérent à une partie s'il appartient à son adhérence.

B

Base dénombrable

Voir Espace à base dénombrable.

Base d'ouverts

Un ensemble d'ouverts est une base pour une topologie lorsque chaque ouvert de celle-ci est une union d'éléments de la base.

Base de voisinages

Voir système fondamental de voisinages.

Boule

Dans un espace métrique, la boule ouverte (respectivement fermée) de centre x et de rayon r (réel strictement positif) est l'ensemble des points situés à une distance de x strictement inférieure (respectivement inférieure ou égale) à r.

C

Complètement de Hausdorff

Un espace est complètement de Hausdorff (ou T_2½) lorsque deux points distincts admettent des voisinages dont les adhérences sont disjointes. En particulier, c'est un espace T₂. L'ensemble $R$ muni de la topologie engendrée par les intervalles ]a,b[ et l'ensemble des rationnels $Q$ est T_2½ mais pas T₃.

Complètement normal

Un espace complètement normal (ou T₅) est un espace séparé vérifiant : pour toutes parties A et B telles que l'adhérence de l'un n'intersecte pas l'autre, il existe deux ouverts disjoints U et V contenant respectivement A et B. Tout espace complètement normal est normal, T₄

Complètement régulier

Un espace séparé est complètement régulier (ou T_3½) si pour tout fermé F et pour tout point x n'appartenant pas à F, F et {x} sont fonctionnellement séparés, i.e. il existe une fonction continue s'annulant sur F et valant 1 en x. Les espaces de Tychonoff sont réguliers.

Continuité

Une application d'un espace topologique dans un autre est continue lorsque l'image réciproque de chaque ouvert est un ouvert.

D

Dense

Une partie dense d'un espace topologique est une partie dont l'adhérence est l'espace tout entier.

Dérivé

Si P est une partie d'un espace topologique, son ensemble dérivé P' est l'ensemble de ses points d'accumulation.

Discrète

Voir Topologie discrète

Distance

Une distance définie sur un ensemble E est une application de E × E dans $R^{+}$ telle que, pour tout :triplet (x, y, z) d'éléments de E :

d(x,y) = d(y,x) ;
d(x,y) = 0 si et seulement si x=y ;
d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z).

E

Engendrée

Voir Topologie engendrée

Espace à base dénombrable

Espace topologique admettant une base d'ouverts dénombrable.

Espace métrique

Un espace métrique est un couple (E,d), où E est un ensemble, et d une distance définie sur E.

Espace polonais

Un espace polonais est un espace séparable dont la topologie peut être définie par une distance qui en fait un complet.

Espace topologique

C'est un ensemble E muni d'un sous-ensemble T de l'ensemble de ses parties qui vérifie :

E lui-même et l'ensemble vide sont des éléments de T ;
La réunion de toute famille d'éléments de T est un élément de T ;
L'intersection de deux éléments de T est elle-même un élément de T.

L'ensemble T est alors appelé la topologie mise sur E, et celles des parties de E qui appariennent à T sont appelées les ouverts de cette topologie.

F

Faiblement normal

Un espace faiblement normal est un espace complètement régulier dont on peut séparer par deux ouverts disjoints deux fermés disjoints dont l'un est dénombrable.

Fermé

Une partie d'un espace topologique est dite fermée lorsque son complémentaire est un ouvert.

Fermeture

Voir Adhérence.

Fonctionnellement séparés

Deux sous-ensembles A et B d'un espace topologique X sont dits fonctionnellement séparés lorsqu'il existe une fonction continue $f : X \to [0, 1]$ telle que $f (A) = {0}$ et $f (B) = {1}$ .

Fréchet

Voir Accessible.

Frontière

La frontière d'une partie d'un espace topologique est le complémentaire de son intérieur dans son adhérence. C'est donc l'ensemble des points qui sont adhérents à la fois à cette partie et à son complémentaire.

G

Grossière

Voir Topologie grossière.

H

Hausdorff

Voir Séparé.

Homéomorphisme

On appelle homéomorphisme entre deux espaces topologiques X et Y toute bijection $f : X \to Y$ continue et de réciproque continue. Lorsqu'il existe un homéomorphisme entre X et Y, on dit qu'ils sont homéomorphes.

Homogène

Un espace X est homogène si pour tout couple de points $(x, y) \in X^{2}$ , il existe un homéomorphisme de X sur X qui envoie x sur y. Tous les groupes topologiques, et en particulier les espaces vectoriels topologiques, sont clairement homogènes.

Homotopie

Deux applications continues $f, g : X \to Y$ sont dites homotopes lorsqu'il existe une application continue $H : X \times [0, 1] \to Y$ telle que $\forall x \in X, H (x, 0) = f (x) et H (x, 1) = g (x)$ . On dit alors que H est une homotopie

I

Induite

Voir Topologie induite.

Intérieur

L'intérieur d'une partie d'un espace topologique est le plus grand ouvert contenu dans cette partie. C'est aussi la réunion de tous les ouverts contenus dans cette partie, ou le complémentaire de l'adhérence de son complémentaire. Un point d'une partie lui est intérieur si et seulement s'il existe, inclus dans cette partie, un voisinage ouvert de ce point.

J

K

Kolmogorov

Un espace est de Kolmogorov (ou T₀) lorsque pour tout couple de points distincts, il existe un voisinage de l'un qui ne contient pas l'autre. L'espace E = {a,b} dont les ouverts sont $\emptyset, {a}, E$ est T₀ mais pas T₁.

L

Localement fini

Une famille de parties d'un espace topologique est dite localement finie lorsque chaque point possède un voisinage qui ne rencontre qu'un nombre fini d'éléments de la famille.

Localement métrisable

Un espace est dit localement métrisable lorsque chaque point admet un voisinage métrisable.

M

Maigre

Une partie d'un espace topologique est dite maigre lorsqu'elle est contenue dans une réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide.

Métrique

Voir Espace métrique.

Métrisabilité

Un espace topologique est dit métrisable lorsque sa topologie peut être définie par une distance. Les espaces métrisables sont toujours séparés et paracompacts (et, par conséquence, normaux et de Tychonoff). Un espace à base dénombrable est métrisable si et seulement s'il est régulier d'après le lemme d'Urysohn.

Moins fine

Voir Topologie moins fine.

N

Normal

Un espace normal est un espace topologique dans lequel deux fermés disjoints possèdent des voisinages disjoints. Le lemme d'Urysohn garantit alors que ces deux fermés sont fonctionnellement séparés.

O

Ouvert

Élement d'une topologie.

P

Parfait

Un ensemble parfait d'un espace topologique est un fermé sans point isolé.

Parfaitement normal

Un espace est parfaitement normal lorsqu'il est normal et tout fermé de l'espace est intersection dénombrable d'ouverts. Il est alors complètement normal.

Partition de l'unité

Une partition de l'unité sur un espace topologique est un ensemble de fonctions continues à valeurs dans [0,1] telles que chaque point possède un voisinage sur lequel toutes les fonctions, sauf un nombre fini, sont identiquement nulles et telle que la somme des fonctions soit identiquement égale à 1.

Plus fine

Voir Topologie plus fine.

Point d'accumulation

Dans un espace topologique, un point d'accumulation d'une partie A est un point x adhérent à A - {x}.

Point isolé

Dans un espace topologique séparé, un point isolé d'une partie A est un point x de A pour lequel il existe un voisinage qui ne rencontre A qu'au point x. Un point de A qui n'est pas isolé est un point d'accumulation de A.

Polonais

Voir Espace polonais.

Prébase

Un ensemble d'ouverts est une prébase pour une topologie lorsque l'ensemble des intersections finies d'éléments de cet ensemble est une base. On dit aussi que cette topologie est engendrée par la prébase.

Produit

Voir Topologie produit.

Q

Quotient

Voir Topologie quotient.

R

Raffinement

Un recouvrement K est un raffinement du recouvrement L lorsque chaque élément de K est inclus dans un élément de L.

Rare

Une partie d'un espace topologique est dite rare lorsque son adhérence est d'intérieur vide. De manière équivalente, le complémentaire de son adhérence est dense.

Recouvrement

Une famille $(U_{i})_{i \in I}$ de parties est un recouvrement lorsque son union est l'espace tout entier. Un recouvrement ouvert est un recouvrement d'un espace topologique dont tous les éléments sont des ouverts.

Régulier

Un espace séparé est régulier (ou T₃) lorsque pour tout fermé F et pour tout point x n'appartenant pas à F, x et F admettent des voisinages disjoints. En particulier, c'est un espace T_2½. Tout fermé est l'intersection de ses voisinages fermés. Tout point admet une base de voisinages fermés.

S

Séparable

Un espace séparable est un espace qui admet une partie dense dénombrable.

Séparé

Un espace est séparé (ou T₂) lorsque deux points distincts admettent des voisinages disjoints. En particulier, c'est un espace T₁. Tout point d'un espace T₂ est intersection de ses voisinages fermés. On trouvera dans l'article espace séparé un exemple d'espace T₂ mais non T_2½.

Sous-recouvrement

Un recouvrement K est un sous-recouvrement du recouvrement L lorsque chaque élément de K appartient à L.

Système fondamental de voisinages

Un ensemble $V$ de voisinages d'un point x est un système fondamental de voisinages lorsque chaque voisinage de x contient un élément de $V$ .

T

T₀

Voir Kolmogorov.

T₁

Voir Accessible.

T₂

Voir Séparé.

T_2½

Voir Complètement de Hausdorff

T₃

Voir Régulier.

T_3½

Voir Complètement régulier

T₄

Un espace est T₄ lorsqu'il est séparé et normal.

T₅

Voir Complètement normal.

Topologie

Voir Espace topologique.

Topologie discrète

Topologie dans laquelle tous les ensembles sont ouverts. C'est la plus fine de toutes les topologies.

Topologie engendrée (par un ensemble d'ouverts)

Topologie dont les ouverts sont les réunions quelconques d'intersections finies d'ouverts de l'ensemble. L'ensemble d'ouverts donné constitue une prébase de la topologie.

Topologie grossière

Topologie dont les seuls ouverts sont l'ensemble vide et l'espace tout entier. C'est la moins fine de toutes les topologies.

Topologie induite

La topologie induite sur une partie A d'un espace topologique (E,T) est la topologie la moins fine sur A rendant continue l'injection canonique $A \to E, x \mapsto x$ . Ses ouverts sont les intersections avec A des ouverts de E.

Topologie moins fine

Soient T, T' deux topologies sur le même ensemble E. La topologie T est moins fine que la topologie T' si tout ouvert de T est ouvert de T'. Cela équivaut à la continuité de l'application identique de (E,T') dans (E,T).

Topologie plus fine

Soient T, T' deux topologies sur le même ensemble E. La topologie T est plus fine que la topologie T' si tout ouvert de T' est ouvert de T. Cela équivaut à la continuité de l'application identique de (E,T) dans (E,T').

Topologie produit

Si (E_i ,T_i), i appartenant à I, est une famille d'espaces topologiques, la topologie produit définie sur $\prod_{i \in I} E_{i}$ est la moins fine rendant continue chaque projection $(x_{i}) i \in I \in \prod i \in I E_{i} \mapsto x_{i} \in E_{i}$ . Une base d'ouverts est formée des $\prod_{i \in J} U_{i} \times \prod_{i \in / J} E_{i}$ , où J est une partie finie de I.

Topologie quotient

Si (E,T) est un espace topologique et R une relation d'équivalence sur E, la topologie quotient définie sur l'ensemble quotient E/R est la plus fine rendant continue la projection canonique, qui à x de E, associe sa classe d'équivalence dans E/R.

Topologique

Voir Espace topologique.

Tychonoff

Voir Complètement régulier

U

Uniformisable

Voir Complètement régulier

V

Valeur d'adhérence

Dans un espace métrique, une valeur d'adhérence d'une suite est la limite d'une sous-suite. C'est un point tel que tout voisinage de ce point contient une infinité de termes de la suite.

Voisinage

Un voisinage d'une partie S d'un espace topologique E est un ensemble contenant un ouvert contenant S ; en particulier, un voisinage ouvert de S est un ouvert contenant cette partie. Un voisinage d'un point p est un voisinage du singleton {p}.

Espaces topologiques

Les espaces topologiques peuvent être classés en fonction de la séparation entre leur points, de leur compacité, leur taille ou leur connexité.

Axiomes de séparation

Les axiomes de séparation permettent d'imposer des restriction sur les espaces topologiques. Certains des termes employés ici peuvent avoir été définis autrement dans la littérature ancienne ; voir l'histoire des axiomes de séparation.

Note : l'expression « axiome de séparation » en topologie ne doit pas être confondue avec l'axiome de séparation de la théorie des ensembles).

T₀ ou de Kolmogorov

Un espace est T₀ lorsque pour tout couple de points distincts, il existe un voisinage de l'un qui ne contient pas l'autre. L'espace E = {a,b} dont les ouverts sont $\emptyset, {a}, E$ est T₀ mais pas T₁.

T₁ ou accessible ou de Fréchet

Un espace est T₁ lorsque tous ses singletons sont fermés. Pour tout couple de points distincts, chacun d'eux possède un voisinage qui ne contient pas l'autre. En particulier, c'est un espace de Kolmogorov. Tout point d'un espace T₁ est intersection de ses voisinages. Un espace E infini dont les ouverts non vides sont les complémentaires des parties finies (c'est-à-dire muni de la topologie cofinie) est T₁ mais pas T₂.

T₂ ou de Hausdorff ou séparé

Un espace est séparé lorsque deux points distincts admettent des voisinages disjoints. En particulier, c'est un espace T₁. Tout point d'un espace T₂ est intersection de ses voisinages fermés. On trouvera dans l'article espace séparé un exemple d'espace T₂ mais non T_2½.

T_2½ ou complètement de Hausdorff

Un espace est T_2½ lorsque deux points distincts admettent des voisinages dont les adhérences sont disjointes. En particulier, c'est un espace T₂. L'ensemble $R$ muni de la topologie engendrée par les intervalles ]a,b[ et l'ensemble des rationnels $Q$ est T_2½ mais pas T₃.

T₃ ou régulier

Un espace séparé est régulier lorsque pour tout fermé F et pour tout point x n'appartenant pas à F, x et F admettent des voisinages disjoints. En particulier, c'est un espace T_2½. Tout fermé est l'intersection de ses voisinages fermés. Tout point admet une base de voisinages fermés.

T_3½ ou de Tychonoff ou complètement régulier ou uniformisable

Un espace séparé est complètement régulier si pour tout fermé F et pour tout point x n'appartenant pas à F, F et {x} sont fonctionnellement séparés, i.e. il existe une fonction continue s'annulant sur F et valant 1 en x. Les espaces de Tychonoff sont réguliers.

Faiblement normal

Un espace faiblement normal est un espace complètement régulier dont on peut séparer par deux ouverts disjoints deux fermés disjoints dont l'un est dénombrable.

Normal

T₄

Un espace est T₄ lorsqu'il est séparé et normal.

T₅ ou complètement normal

Un espace est complètement normal est un espace séparé vérifiant : pour toutes parties A et B telles que l'adhérence de l'un n'intersecte pas l'autre, il existe deux ouverts disjoints U et V contenant respectivement A et B. Tout espace complètement normal est normal, T₄

Parfaitement normal

Un espace est parfaitement normal lorsqu'il est normal et tout fermé de l'espace est intersection dénombrable d'ouverts. Il est alors complètement normal.

Axiomes de recouvrement

Un recouvrement ouvert est un ensemble d'ouverts tel que leur union recouvre l'espace.

Paracompact

Un espace topologique est paracompact lorsque tout recouvrement ouvert admet un raffinement localement fini. Les espaces séparés paracompacts sont normaux.

Lindelöf

Un espace est de Lindelöf lorsque tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement dénombrable.

Quasi-compact

Un espace est quasi-compact lorsque tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini.

Compact

Un espace est compact lorsqu'il est quasi-compact et séparé. (Le terme compact est parfois utilisé pour ce que nous avons appelé ici quasi-compact, rendant nécessaire l'utilisation de compact Hausdorff pour ce que nous appelons ici un compact.)

Localement compact

Un espace est localement compact si chaque point admet un système fondamental de voisinages compacts. Les espaces séparés localement compacts sont de Tychonoff.

Relativement compact

Un sous-ensemble d'un espace topologique est relativement compact lorsque son adhérence est compacte.

Connexité

Connexe

Un espace est connexe lorsqu'il n'est pas l'union disjointe de deux ouverts non vides.

Localement connexe

Un espace est localement connexe lorsque chaque point admet un système fondamental de voisinages connexes.

Composante connexe

La composante connexe contenant un point est le plus grand ensemble connexe contenant ce point. C'est l'union de tous les ensembles connexes contenant ce point.

Totalement discontinu

Un espace est totalement discontinu lorsque toutes les composantes connexes sont des singletons.

Connexe par arcs

Un espace X est connexe par arcs lorsque pour tout couple de points $(x, y) \in X^{2}$ , il existe un chemin de x à y, c'est-à-dire une application continue $p : [0, 1] \to X$ telle que $p (0) = x p (1) = y$ . Un espace connexe par arcs est connexe.

Localement connexe par arcs

Un espace est localement connexe par arcs lorsque chaque point admet un système fondamental de voisinages connexes par arcs. Un espace localement connexe par arcs est connexe si et seulement s’il est connexe par arcs.

Simplement connexe

Un espace est simplement connexe lorsqu'il est connexe par arcs et toute application continue $f : S^{1} \to X$ est homotope à une application constante.

Contractile

Un espace X est contractile lorsque l' application identité de X est homotope à une application constante. Les espaces contractiles sont toujours simplement connexes.