Classes de Thom-Boardman - Définition

Introduction

Introduites par René Thom en 1956, et généralisées par J.M. Boardman en 1967, les classes de Thom-Boardman Σ sont un outil pour l'étude des singularités des applications différentiables . Elles permettent de distinguer les singularités selon la dimension des noyaux de (l'application tangente de) f et de certaines de ses restrictions. Elles ont une importante application dans le calcul des caustiques de l'optique géométrique.

Classes ΣI(f) (Thom, 1956)

Etant donnée une application (indéfiniment) différentiable , on définit en tout point le rang r de f comme étant le rang de l'application tangente Tf_x. On définit aussi le corang à la source comme m − r, et le corang au but comme n − r. Le corang à la source est aussi la dimension i du noyau de Tf_x: i = m − r.

Un point est dit régulier si son rang prend la valeur maximale possible: r = min(m,n). Il est dit singulier ou critique dans le cas contraire. L'ensemble des points singuliers est noté Σ(f). Les classes de Thom-Boardman décrivent la structure de Σ(f).

est dit de classe Σⁱ si le noyau de Tf_x est de dimension i. On note Σⁱ(f) l'ensemble des points de classe Σⁱ.

Le cas général est défini inductivement en posant, pour toute famille d'entiers :

.

On a les inclusions .

Application à l'optique géométrique

Les caustiques de l'optique géométrique sont modélisées mathématiquement en tant que singularités, ou plus exactement en tant que singularités lagrangiennes. La théorie des singularités lagrangiennes montre qu'il existe 5 types génériques de points caustiques dans notre espace physique: les plis A₂, les fronces A₃, les queues d'aronde A₄, les ombilics hyperboliques et les ombilics elliptiques .

Le lien avec les singularités d'applications différentiables vient de la remarque suivante. Considérons un ensemble (ou congruence) de rayons lumineux. Chaque rayon est défini par deux paramètres x₁, x₂, qui sont par exemple les coordonnées du point Q du front d'onde W d'où est issu le rayon. Pour décrire tous les points P du système des rayons, on ajoute aux coordonnées x₁ et x₂ une troisième coordonnée x₃ le long du rayon, par exemple la distance QP mesurée le long du rayon (x₁,x₂). On définit ainsi une application f qui fait correspondre au triplet (x₁,x₂,x₃) le point (y₁,y₂,y₃) de l'espace physique, situé à la coordonnée (distance) x₃ le long du rayon (x₁,x₂). Dire que les rayons "se croisent", c'est dire que f n'est pas injective. La non surjectivité de f exprime l'existence de zones d'ombres. La caustique K du système de rayons est l'ensemble singulier Σ de f, ou plus exactement son image dans l'espace physique: K = f(Σ).

Cette modélisation des rayons par une application différentiable f explique que la caustique se compose d'une surface-pli A₂ = Σ¹(f), de lignes-fronces A₃ = Σ^1,1(f), et de points queues d'arondes A₄ = Σ^1,1,1(f). Elle n'explique cependant pas la présence des ombilics qui, dans la théorie générale, sont de codimension 4.

La caractérisation des points caustiques par les classes de Thom-Boardman permet leur calcul effectif dans la plupart des applications.

Exemples de calculs de ΣI(f)

Points réguliers

Soit la fonction , f(x) = x. Sa dérivée n'est jamais nulle. La fonction f n'a que des points réguliers: Σ⁰(f) = R.

Le pli

Soit la fonction , f(x) = x². Sa dérivée est 2x. On a donc et Σ¹(f) = {0}. L'unique point critique est appelé pli.

La fronce

Soit l'application , . On calcule le déterminant jacobien . On trouve . Alors Σ¹(f) est obtenu en écrivant J(x₁,x₂) = 0, soit . C'est une parabole. Pour trouver Σ^1,1(f), nous devons écrire la restriction g de f à Σ¹(f). En utilisant, l'égalité , on trouve , . La dérivée ne s'annule qu'à l'origine. On a donc Σ^1,1(f) = (0,0). La singularité à l'origine s'appelle fronce.

La queue d'aronde

Soit l'application , . Le déterminant jacobien s'écrit . Alors Σ¹(f) est obtenu en écrivant J(x₁,x₂,x₃) = 0, soit . C'est une surface régulière de R³. Pour trouver Σ^1,1(f), nous devons écrire la restriction g de f à Σ¹(f). En utilisant l'égalité , on trouve , . On calcule la matrice dérivée . La condition caractérisant Σ^1,1(f) est obtenue en annulant les 3 mineurs d'ordre 2, ce qui mène à . Σ^1,1(f) est donc une courbe régulière de R³, d'équation: , . Cette équation nous permet d'écrire la restriction h de f à Σ^1,1(f): . Alors Σ^1,1,1(f) est obtenu en écrivant que h'(x₁) est nul, soit x₁ = 0. La singularité à l'origine s'appelle queue d'aronde.

Les ombilics

Soit l'application , . On calcule comme précédemment Σ¹(f) et Σ^1,1(f). Pour trouver Σ²(f) on calcule la matrice jacobienne . On remarque que les deux premiers vecteurs-colonnes et forment un plan vectoriel. On écrit donc que les deux autres vecteurs-colonnes sont contenus dans ce plan, ce qui fournit 8 annulations de déterminants de mineurs d'ordre 3. On trouve finalement Σ²(f) = (0,0,0,0). La singularité à l'origine s'appelle ombilic: ombilic hyperbolique pour le signe + et ombilic elliptique pour le signe − . Les ombilics hyperbolique et elliptique appartiennent à la même classe de Thom-Boardman Σ²(f).

L'ombrelle de Whitney-Cayley

Soit l'application , . On calcule la matrice jacobienne:

.

Σ¹(f) est obtenu en annulant les 3 mineurs d'ordre 2 soit: x₁ = 0, 2x₂ = 0, . Par conséquent Σ¹(f) = (0,0). La singularité à l'origine s'appelle ombrelle de Whitney-Cayley.