Les diviseurs premiers de
possèdent la propriété suivante : Si
est un nombre premier et
est la plus grande puissance de
qui divise
, alors
est égal au nombre d'entiers naturels
tels que la partie fractionnaire de
soit plus grande que la partie fractionnaire de
. C'est le nombre de retenues dans la soustraction de n par k, lorsque ces deux nombres sont écrits en base p.
En particulier,
est toujours divisible par
(pgcd signifie plus grand commun diviseur).
La règle permet de déterminer les
qui sont pairs. Il suffit pour cela de prendre p = 2 et
. La soustraction de n par k nécessite donc au moins une retenue en binaire. Cela signifie que, dans le développement binaire de n, il se trouve au moins un 0 situé au même rang qu'un 1 dans le développement binaire de k.
A l'inverse,
est impair si, à chaque fois que k possède un 1 dans son développement binaire, il en est de même de n au même rang. On dit que kimpliquen. Par exemple, si n est de la forme 2p − 1, tous ses chiffres binaires valent 1, et tous les
seront impairs. Si n = 2p, alors n possède un seul 1 dans son développement binaire, et seuls
et
sont impairs, tous les autres sont pairs.
Formules faisant intervenir les coefficients binomiaux
On suppose que k, n sont des entiers ; z, z' des complexes.
Les formules suivantes peuvent être utiles :
et plus généralement
.
En remplaçant dans (3) x = y = 1, on obtient
En dérivant (3), et en remplaçant x = y = 1, il vient
En développant (
avec (3), on obtient l'identité de Vandermonde :
et plus généralement
À partir du développement (8), en remplaçant m = k = n et en utilisant (4), on obtient
En développant
et en observant le coefficient devant
, on obtient
On a,
Ici, F(n+1) désigne le n+1 ième terme de la suite de Fibonacci. Cette formule sur les diagonales du triangle de Pascal peut être démontrée par une récurrence sur n en utilisant (2).
Et enfin,
Cela peut être démontré par récurrence sur n en utilisant (2).
et plus généralement
