Comatrice - Définition

Variations de la fonction déterminant

La formule de Leibniz montre que le déterminant d'une matrice A s'exprime comme somme et produit de composantes de A. Il n'est donc pas étonnant que le déterminant ait de bonnes propriétés de régularité. On suppose ici que K est le corps des réels.

Déterminant dépendant d'un paramètre

Si est une fonction de classe à valeurs dans les matrices carrées d'ordre n, alors est également de classe .

La formule de dérivation s'obtient en faisant intervenir les colonnes de A

Cette formule est analogue formellement à la dérivée d'un produit de n fonctions numériques.

Le déterminant comme fonction sur l’espace des matrices

• L’application qui à la matrice associe son déterminant est continue (membre de ).

  Cette propriété a des conséquences topologiques intéressantes :

  ainsi le groupe est un ouvert,

  le sous-groupe est un fermé.

• Cette application est en fait différentiable (membre de ), et même infiniment déférentiable (membre de ).

  En effet le calcul des cofacteurs peut être vu précisément comme un calcul de dérivée partielle

  

  Toutes ces dérivées partielles étant elles-mêmes des déterminants, par récurrence le déterminant est .

• En outre on peut écrire le développement limité à l’ordre un du déterminant au voisinage de

  

  c’est-à-dire que si on munit de son produit scalaire canonique, l’application déterminant a pour gradient

  

  Notamment pour le cas où est l’identité,

  

  

Propriétés de la comatrice

Nous avons

com(I_n) = I_n

et

pour toutes matrices M et N d'ordre n, com(MN) = com(N) com(M)

La comatrice est aussi compatible avec la transposition :

com(^tM) = ^t (com(M)).

de plus,

det(com(M)) = det(M)^n-1.

Si p(t) = det(M - tI_n) est le polynôme caractéristique de M et que q est le polynôme défini par q(t) = (p(0) - p(t))/t, alors

^tcom(M) = q(M).

La comatrice apparaît dans la formule de la dérivée d'un déterminant.

Pour :

• si A est de rang n (i.e. A inversible), Com(A) aussi. On a alors et .
• si A est de rang n-1, Com(A) est de rang 1.
• si A est de rang au plus n-2, Com(A)=0.

Si et , (et est donc nulle si, et seulement si, A n'est pas inversible). Si n=2, on a Com(Com(A))=A pour toute matrice A (ce qu'on peut inclure dans la formule précédente avec la convention x⁰ = 1 pour tout , y compris pour x=0).

Si , les matrices telles que A=Com(A) sont la matrice nulle et les matrices spéciales orthogonales. Si n=2, ce sont les matrices multiples des matrices spéciales orthogonales.

Comatrice et produit vectoriel

Si A est une matrice d'ordre trois, elle agit sur les vecteurs de l'espace à trois dimensions muni d'une base orthonormée d'orientation directe. La comatrice de A décrit alors l'interaction de A avec le produit vectoriel:

.