Développement limité
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

En physique et en mathématiques, un développement limité d'une fonction f au voisinage de x0, est l'écriture d'une fonction sous la forme d'une fonction polynôme et d'un reste \varepsilon(x).

Il se révèle très utile quand on recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par...) l'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien qu'une...) d'une fonction au voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la...) d'un point (Graphie) ou un équivalent de celle-ci.

En physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien,...), il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité (En physique et en mathématiques, un développement limité d'une fonction f au voisinage de x0, est l'écriture d'une fonction sous la forme d'une fonction polynôme et d'un reste .) à condition que l'erreur ainsi faite soit inférieure à l'erreur autorisée. Si l'on se contente d'un développement d'ordre 1, on parle d'approximation linéaire (En physique et en mathématiques, un développement limité d'une fonction f au voisinage de x0, est l'écriture d'une fonction sous la forme d'une fonction polynôme et d'un reste...).

En mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...), les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées ou d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes.

L'étude des développement limités se prolonge par l'étude des développements en séries entières.

Définitions

On dit que la fonction f possède un développement limité d'ordre n (abrégé par la suite en D.L.n) au voisinage I de x0 s'il existe n + 1 réels a0, …, an et une fonction ε(x), tels que, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) x de I :

f(x) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot (x - x_0)^i + \varepsilon(x)

la fonction ε(x) tendant vers 0 lorsque x tend vers un point x0, et ce " plus rapidement " que le dernier terme de la série, c'est-à-dire que :

\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{\varepsilon(x)}{(x - x_0)^n} = 0

Les fonctions vérifiant ceci sont notées o((xx0)n), on écrit donc :

f(x) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot (x - x_0)^i + o((x - x_0)^n)

Le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) n est appelé ordre de développement.

Il est fréquent de chercher plutôt un développement limité au voisinage de 0 dont l'expression se trouve être plus simple :

f(x) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot x^i + o(x^n)

il est facile d'y parvenir en posant le changement de variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une variable peut aussi...) x = x0 + h

f(x_0+h) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot h^i + o(h^n)

On prouve que si une fonction admet un D.L.n au voisinage de x0, ce développement est unique. On prouve aussi que a0 = f(x0).

Note : la fonction f peut être à valeurs vectorielles.

Opérations sur les développements limités

Somme
Si ƒ et g possèdent deux D.L.n, alors ƒ + g possède un D.L.n qui s'obtient en effectuant la somme des deux polynômes.
Multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) par λ
si ƒ possède un D.L.n alors λ·ƒ aussi, obtenu en multipliant le D.L.n de ƒ par λ.
Produit
Si ƒ et g possèdent des D.L.n, alors ƒ·g possède un D.L.n. Si ak, bk et ck sont les coefficients de xk dans les développements respectifs de ƒ, g et ƒ·g, le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une fonction de base et ainsi de...) ck est obtenu par la formule suivante :
c_k = \sum_{i+j=k}a_ib_j\,
Inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un...)
Si u(x0) = 0 et si u possède un D.L.n au voisinage de x0, alors \frac{1}{1 - u} possède un D.L.n. Ce développement limité se trouve en cherchant un D.L.n de
\sum_{k=0}^n u^k
Composition
si u possède un D.L.n au voisinage de x0 et si v possède un D.L.n au voisinage de u(x0), alors v o u possède un D.L.n qui s'obtient en cherchant un D.L.n de Qn o PnPn et Qn sont les D.L.n de u et v
ex : développement limité d'ordre 2 au voisinage de 0 de e^{\frac{1}{1-x}}
D.L.2au voisinage de 1 de ex :
e^x  = e(1 + (x - 1) + \frac{(x - 1)^2}{2} + o((x - 1)^2))
rem: le D.L. au voisinage de 1 de ex se trouve en remarquant que ex = e.ex − 1 et en utilisant le D.L. de eh au voisinage de 0
D.L.2 au voisinage de 0 de \frac{1}{1-x} :
\frac{1}{1-x}  = 1 + x +x^2 + o(x^2)
D.L.2 au voisinage de 0 de e^{\frac{1}{1-x}}:
e^{\frac{1}{1-x}} = e(1 + (x  + x^2)+ \frac{( x +x^2)^2}{2} + o(x^2))
e^{\frac{1}{1-x}} = e(1 + x  +\frac{3}{2} x^2 + o(x^2))
Intégration
Si ƒ est continue sur un intervalle I autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres...) x0 et possède un D.L.n au voisinage de x0, alors toute primitive F de ƒ possède un D.L.n+1 au voisinage de x0 qui est
F(x) = F(x_0) + \sum_{i=0}^{n}\frac{a_i}{i+1}(x - x_0)^{i+1}
Dérivation
il n'existe pas de théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers...) général sur l'existence d'un D.L.n - 1 pour la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée...) d'une fonction admettant un D.L.n au voisinage de x0.
par exemple la fonction définie par
f(x) = x^3\sin\left(\frac{1}{x^2}\right) pour tout x non nul et ƒ(0) = 0
possède un développement limité d'ordre 2 au voisinage de 0 mais sa dérivée, non continue, ne possède pas de D.L.1 .
Par contre si f' admet un D.L d'ordre n-1 en xo alors la partie régulière du D.L de f' est la dérivée de la partie régulière du D.L d'ordre n de f en xo .

D.L.n et fonctions dérivables

Article principal: Théorème de Taylor

Le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité...) Taylor a démontré qu'une fonction f, dérivable n fois sur un intervalle I contenant x0, possédait un D.L.n au voisinage de x0 :

f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ...+  \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n  + o((x-x_0)^n)

soit en écriture abrégée

f(x) = f(x_0) + \sum_{i=1}^n \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i + o((x-x_0)^n)

En revanche, le fait qu'une fonction possède un D.L.n au voisinage de x0 n'assure pas que la fonction soit n fois dérivable en x0. On peut juste déduire, de l'existence d'un D.L.0 au voisinage de x0, la continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations...) en x0, et, de l'existence d'un D.L.1 au voisinage de x0, la dérivabilité en x0. Par contre si f' admet un D.L d'ordre n-1 en xo alors la partie régulière du D.L de f' est la dérivée de la partie régulière du D.L d'ordre n de f en xo .

Quelques utilisations

Le développement d'ordre 0 consiste à considérer que ƒ est continue en x0 :

f(x) = f(x_0) + \varepsilon(x)

Le développement limité d'ordre 1 consiste à approcher une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) par sa tangente ; on parle aussi d'approximation linéaire :

f(x) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0) + o(x-x_0).

Son existence équivaut à la dérivabilité de la fonction en x0.

Le développement limité d'ordre 2 consiste à approcher une courbe par une parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe...), ou loi quadratique. Il permet aussi de préciser la position de la courbe par rapport à sa tangente, au voisinage du point de contact (pourvu que le coefficient du terme de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) 2 soit non nul).

Le changement de variable h = \frac{1}{x} permet, à l'aide d'un D.L.0 au voisinage de 0, de chercher une limite à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier...), et, à partir d'un D.L.1 au voisinage de 0, de déterminer l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner...) d'une asymptote (Le terme d'asymptote est utilisé en mathématiques pour préciser des propriétés éventuelles d'une branche infinie de courbe à accroissement tendant vers l'infinitésimal. C'est d'abord un adjectif...).

Quelques exemples

Fonction cos et son développement limité d'ordre 4 au voisinage de 0
Fonction cos et son développement limité d'ordre 4 au voisinage de 0

Les fonctions suivantes possèdent des D.L.n au voisinage de 0 pour tout entier n et sont développables en séries entières.

  • \frac{1}{1-x} = \sum_{i=0}^n x^i+ \frac{x^{n+1}}{1-x} une conséquence en est la somme de la série géométrique.
  • \ln(1+x) = \sum_{i=1}^n \frac{(-1)^{i+1}}{i}x^i + o(x^n) par intégration de la formule précédente et changement de x en -x
  • e^{x} =  \sum_{i=0}^n \frac{1}{i!}x^{i} + o(x^n)
  • \sin(x) = \sum_{i=0}^n \frac{(-1)^{i}}{(2i+1)!}x^{2i+1} + o(x^{2n+2}) à l'ordre 2n + 1 ou 2n + 2, car le terme en x2n + 2 est nul (comme tous les autres termes de puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) paire), donc o(x2n + 1) = o(x2n + 2).
  • \cos(x) = \sum_{i=0}^n \frac{(-1)^{i}}{(2i)!}x^{2i} + o(x^{2n+1}) à l'ordre 2n ou 2n + 1, car le terme en x2n + 1 est nul (comme tous les autres termes de puissance impaire), donc o(x2n) = o(x2n + 1).
  • (1+x)^a = 1+\sum_{i=1}^n \frac1{i!} \left(\prod\limits_{j=0}^{i-1} (a-j)\right)x^i + o(x^n)

Voir l'article série entière.

Applications

Pour ces mêmes fonctions, voici quelques applications des formules précédentes à des ordres couraments utilisés :

  • \frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+o(x^3)
  • \ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+o(x^4)
  • e^{x} = 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)
  • \sin(x) = x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^6)
  • \cos(x) = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^5)
  • (1+x)^a = 1+ax+\frac{a(a-1)}2x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}6x^3+o(x^3)\,

Approximations linéaires : développements limités d'ordre 1 en physique

En physique, on utilise fréquemment des développements limités d'ordre 1 :

  • en 0 : (1 + x)^n = 1 + n\,x +  o(x), en particulier
    • \sqrt{1 + x} = 1 + \frac{1}{2} x +  o(x),
    • \frac{1}{1 + x} = 1 - x +  o(x),
toute forme de type (a + x), a\ne 0, peut se transformer en a \cdot \left ( 1 + \frac{x}{a} \right )
  • en 0 : fonctions trigonométriques
    • \sin x = x + o(x^2)\qquad\arcsin x = x + o(x^2)
    • \tan x = x + o(x^2)\qquad\arctan x = x + o(x^2)
Page générée en 0.008 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique