En mathématiques, et plus précisément en topologie, une distance ultramétrique est une distance d sur un ensemble X vérifiant l'inégalité ultratriangulaire :
.
Un espace métrique dont la distance vérifie cette propriété est dit ultramétrique.
Définition et exemples
Soit E un ensemble ; on appelle distance ultramétrique (sur E) une application
vérifiant les propriétés suivantes :
On prouve facilement que cette application vérifie
et
.
On définit alors la distance p-adique sur
par:
La première propriété précédente conduit facilement à
ce qui implique facilement l'inégalité triangulaire, les autres vérifications étant aisées.
Il s'agit donc bien d'une distance ultramétrique sur
.
Autres exemples
En génétique, la distance entre génotypes le long des branches d'un arbre phylogénétique peut être mesurée par une distance ultramétrique.
Propriétés
Voici quelques propriétés d'un espace ultramétrique, qui semblent aller contre l'intuition.
Il n'existe pas de boules sécantes, en ce sens que si deux boules ouvertes (ou deux boules fermées) ont un point commun, alors l'une contient l'autre:
Soit y vérifiant
et
. Alors
La démonstration s'adapte facilement dans le cas de boules fermées.
Tout point d'une boule en est un centre:
D'après la propriété précédente, puisque
et
ont x en commun, et qu'elles ont même rayon, elles sont incluses l'une dans l'autre donc égales.
Dans un espace métrique, toute boule ouverte est ouverte, toute boule fermée est fermée. Dans un espace ultramétrique, on a de plus:
Toute boule fermée est ouverte. Toute boule ouverte est fermée.
La boule fermée
est un ouvert, car si
, la boule ouverte de centre x et de rayon r est contenue dans
, puisque les boules fermées sont égales d'après la propriété précédente. Soit U le complémentaire de la boule ouverte
. Si x est dans U, alors U contient la boule ouverte
, sinon
et
auraient un point commun, ce qui impliquerait d'après la première propriété que
, alors que x est dans la première boule mais pas dans la seconde. Il en résulte que U est un ouvert, donc la boule ouverte
est fermée.
Étant donné trois points, deux d'entre eux sont à la même distance du troisième, ce qui fait que tout triangle est isocèle:
Supposons par exemple
. Puisque
, on ne peut avoir aussi
, donc
, mais par ailleurs,
et on a bien obtenu l'égalité.
