Une équation polynomiale est une équation de la forme :
où les , appelés coefficients de l’équation, sont donnés. Les coefficients sont le plus souvent des nombres réels ou complexes, mais ils peuvent prendre leurs valeurs dans n’importe quel anneau.
En mathématiques, l'équation polynomiale, est le sujet central de la théorie des équations. L'objectif de la théorie des équations est de trouver les racines d'un polynôme, ce qui revient à résoudre une équation polynomiale. Résoudre l’équation consiste à trouver l’ensemble des valeurs de l’inconnue (appartenant à un certain ensemble, en général le même corps ou anneau que les coefficients), appelées solutions de l’équation, pour lesquelles l’équation polynomiale est vraie.
On appelle degré de l’équation la plus grande puissance de l’inconnue affectée d’un coefficient non nul. Par exemple, l’équation d’inconnue est une équation polynomiale réelle du second degré. (Son unique solution (solution double) est − 1.)
Soit l’équation
dont les coefficients ai appartiennent à un corps . Les solutions de (E) dans sont les racines du polynôme
obtenu en substituant à l'inconnue x l'indéterminée X.
On montre en algèbre qu'un polynôme de degré n possède au plus n racines. L'équation (E) admet donc au plus n solutions.
Si est un surcorps de , on peut considérer (E) comme une équation à coefficients dans ; et les solutions de (E) dans sont aussi solutions dans (la réciproque étant en général fausse). Il est toujours possible de trouver un surcorps de , appelé corps de rupture du polynôme P, dans lequel (E) admet au moins une solution.
Le théorème de d'Alembert-Gauss affirme que le corps des complexes est algébriquement clos, c’est-à-dire que toute équation polynomiale à coefficients complexes et de degré au moins un admet une solution.
Il s’ensuit que toute équation polynomiale de degré un ou plus à coefficients réels admet une solution complexe. En revanche, une équation comme x2 + 1 = 0 n’a pas de solution dans (ses solutions sont les complexes i et − i).
Autant l'intuition des solutions réelles d'équations réelles P(X) = 0 est immédiate (ce sont les points de la courbe Y=P(X) qui rencontrent l'axe (ox)), autant l'existence de ces solutions complexes d'équations réelles peut paraître étonnante et leur localisation indéterminable intuitivement.
Toutefois, une équation polynomiale réelle de degré impair admet nécessairement une solution réelle. En effet, la fonction polynôme associée est continue, et elle tend vers au voisinage de et vers au voisinage de . D’après le théorème des valeurs intermédiaires, elle prend donc la valeur zéro en un certain réel, qui est ainsi solution de l’équation.
On dispose de formules donnant les solutions des équations polynomiales réelles ou complexes de degré inférieur ou égal à 4 en fonction de leurs coefficients. Abel a montré qu’il n’est pas possible de trouver de telles formules générales (n’utilisant que les quatre opérations usuelles et les racines) pour les équations de degré 5 ou plus. La théorie de Galois donne un critère permettant de déterminer, étant donnée une équation polynomiale, si sa solution s’exprime par radicaux.