Fonction polynôme
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En algèbre, une fonction polynôme, ou fonction polynomiale est définie comme étant une application associée à un polynôme à coefficients dans un anneau (souvent un corps) commutatif K de la forme :

f : x \mapsto a_n x^n + a_ {n - 1} x^ {n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 x^0

n est un entier naturel et an, an − 1, ..., a0 sont des éléments de K, appelés coefficients de la fonction polynôme (En algèbre, une fonction polynôme, ou fonction polynomiale est définie comme étant une application associée à un polynôme à coefficients dans un anneau (souvent un corps) commutatif K de la...) f. Cela s'écrit encore, à l'aide de la notation sigma :

f: x \mapsto \sum_{r = 0}^{n} a_r x^{r}

On dit que f est une fonction polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur...) à coefficients dans K.

On n'a pas précisé les ensembles de départ K et d'arrivée L d'une fonction polynôme afin de ne pas compliquer la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.). Il suffit en fait que L soit muni d'une structure d'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) sur le corps (ou l'anneau) K. Une telle structure comporte toutes les opérations qui interviennent dans la définition d'une fonction polynôme :

  • Les lois internes de multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) et d'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs...) de l'anneau K permettent de multiplier et d'ajouter les coefficients entre eux.
  • Une loi externe de multiplication permet de faire le produit d'un élément de l'anneau K et d'un élément d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise...) L.
  • Une loi de multiplication interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en...) permet de faire le produit de l'élément x avec lui-même dans l'ensemble L.
  • Une loi d'addition interne permet d'ajouter entre eux les éléments de la forme akxk appartenant à L.

Dans la pratique, on se place souvent dans les cas particuliers K=L=\mathbb R (ou K=L=\mathbb C) dans lesquels toutes les lois de multiplications précédentes sont confondues.

En analyse, on considère presque toujours des fonctions polynômes à coefficients réels ou complexes (K=\mathbb R ou K=\mathbb C).

Degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :)

Le degré d'une fonction polynômiale f non nulle est le plus grand des entiers naturels k tels que ak soit non nul (c'est donc n si le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients...) an n'est pas nul). Par convention, le degré de la fonction polynômiale nulle est -\infty.

Chaque terme de la fonction polynôme de la forme akxk est appelé un monôme (de degré k). Le coefficient du monôme de plus haut degré est appelé le coefficient dominant de f ; a0 est appelé le coefficient constant de f.

Identification des coefficients

Dans le cas où K est un corps commutatif infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque...), il y a équivalence entre l'identité formelle de polynômes à coefficients dans K et l'identité des fonctions polynômes associées : deux polynômes sont égaux (ont même degré et mêmes coefficients) si et seulement si les fonctions polynomiales associées sont égales.

En termes plus abstraits : le morphisme de K-algèbres P\mapsto \tilde{P} de K[X] dans \mathcal F(K) qui à un polynôme P(X)=\sum_{r = 0}^{n} a_r X^r de K[X] associe la fonction polynomiale \tilde{P}: K \to K,\, x\mapsto \sum_{r = 0}^{n} a_r x^r, est alors injectif.

Dans ce cas, il n'y a plus lieu de distinguer le polynôme et la fonction polynomiale associée.

Polynômes particuliers

Les polynômes de

  • degré 0 sont appelés fonctions constantes non nulles,
  • degré 1 (ou \leq 1) sont appelés fonctions affines,
  • degré 2 sont appelés fonctions quadratiques,
  • le degré 3 sont appelés fonctions cubiques

La fonction polynôme f(x) = -7x^3 + \frac {2} {3} x^2 - 5x + 3 est un exemple d'une fonction cubique avec comme coefficient dominant -7 et coefficient constant 3.

Importance des fonctions polynômes

Les fonctions polynômes sont souvent utilisées parce que ce sont les fonctions les plus simples : leur définition implique seulement l'addition et la multiplication (puisque les puissances ne sont que des sténographies pour les multiplications répétées).

Ils sont aussi simples dans un autre sens : les polynômes de degré inférieur ou égal à n sont précisément les fonctions dont la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou...) (n+1)ième est identiquement nulle.

Un aspect important en calcul numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par...) est la possibilité d'étudier les fonctions compliquées au moyen d'approximations par des polynômes. Des théorèmes rendent possibles de telles études dans certaines conditions.

Les plus importants sont le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes....) de Taylor, qui affirme à peu près que toute fonction n fois différentiable a l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec l'altitude, il est nécessaire de...) d'être localement un polynôme, et le théorème d'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien qu'une approximation soit...) de Weierstrass, qui affirme que toute fonction continue définie sur un intervalle compact peut être approchée uniformément sur cet intervalle d'aussi près que désiré par un polynôme.

Les quotients de fonctions polynômes sont appelés les fonctions rationnelles. Celles-ci sont les seules fonctions qui peuvent être évaluées directement par un ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de circuits électroniques permettant de manipuler des données...), puisqu'à la base, seules les opérations d'addition, de multiplication et de division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque de la fonction...) (et les opérations logiques) peuvent être exécutées par l'unité centrale d'un ordinateur. Toutes les autres fonctions que l'on a besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes catégories : les besoins primaires, les besoins secondaires...) d'évaluer à l'aide d'un ordinateur, comme les fonctions trigonométriques, les fonctions logarithmes et les fonctions exponentielles, doivent être alors approchées par des fonctions rationnelles convenables.

Pour évaluer des fonctions polynômes en des valeurs données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) de la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En...) x, on n'applique pas le polynôme comme une formule et on ne calcule pas toutes les puissances de x, mais on utilise plutôt la méthode de Horner (La méthode de Horner est utilisée dans le calcul polynomial, soit pour calculer la valeur d'une fonction polynomiale en un point, soit pour calculer le quotient d'un polynôme par X - a.), beaucoup plus efficace.

Si l'évaluation d'un polynôme en de nombreux points équidistants est demandée, alors la méthode des différences finies de Newton réduit la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou un groupe...) de travail de façon spectaculaire. Le moteur (Un moteur (du latin mōtor : « celui qui remue ») est un dispositif qui déplace de la matière en apportant de la puissance. Il effectue ce travail à partir d'une énergie (éolienne, chimique,...) de différences de Charles Babbage (Charles Babbage (né le 26 décembre 1791 à Teignmouths, Devonshire, Angleterre, mort le 18 octobre 1871) était un mathématicien britannique et le précurseur de...) a été conçu pour créer automatiquement de grandes tables de valeurs des fonctions logarithmes et trigonométriques en évaluant des polynômes avec la méthode des différences de Newton, en utilisant beaucoup de points.

Racines

Une racine ou un zéro d'un polynôme P(X) est un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) r tel que P(r) = 0. Déterminer les racines d'un polynôme de degré supérieur ou égal à 1, ou " résoudre une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre...) algébrique ", est l'un des plus vieux problèmes mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les...). Certains polynômes, comme P(X) = X2 + 1, n'ont pas de racine dans l'ensemble des nombres réels. Si les racines sont recherchées dans l'ensemble des nombres complexes, alors on pourra en trouver au moins une (ici, il y en a deux.) En effet tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) polynôme (non-constant) de \mathbb C [X] admet au moins une racine complexe (voir le théorème de d'Alembert-Gauss.)

Ordre de multiplicité d'une racine

Si r est racine du polynôme P(X), il existe un polynôme Q(X) tel que P(X) = (Xr)Q(X) (pour le démontrer il suffit de retrancher à chaque monôme akXk de P(X) la valeur akrk et de constater que (Xr) se met naturellement en facteur). Si Q(r) est nul, alors on peut encore mettre (Xr) en facteur. On dit alors que r est racine double de P(X).

Plus généralement, s'il existe un polynôme Q(X) et un entier naturel non nul m tels que P(X) = (Xr)mQ(X) et Q(r)≠0, on dit que r est racine d'ordre m, ou a pour multiplicité m (Q et m sont alors uniques). Par exemple, le polynôme P(X) = X3 − 2X2 + X peut aussi s'écrire P(X) = (X − 1)2X ; donc 1 est une racine de P, et sa multiplicité est égale à 2, alors que 0 est racine simple.

Calcul des racines d'un polynôme

La recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par...) des racines des polynômes de degré 1 ou 2 sont des classiques de l'enseignement (L'enseignement (du latin "insignis", remarquable, marqué d'un signe, distingué) est une pratique d'éducation visant à développer les connaissances d'un élève par le biais de communication verbale et...) pré-universitaire, connus comme "résolution d'une équation du premier ou du second degré". Des formules permettant de calculer les racines des polynômes de degré jusqu'à 4 à partir des coefficients en utilisant les quatre opérations arithmétiques plus les radicaux (racines n-ièmes) étaient déjà connues au seizième siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois (d'où peut...) (formule de Cardan, de Nicolas Fontana Tartaglia, de Ferrari).

Aucune formule générale de ce type n'existe pour les polynômes de degré 5 ou plus, comme l'a prouvé Abel en 1824. Ce résultat précède de peu la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation ou...) plus générale développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille des droites normales...) par Galois qui s'engage dans une étude détaillée des relations entre les racines de polynômes.

Les approximations des racines réelles d'un polynôme donné peuvent être trouvées en utilisant la méthode de Newton, ou plus efficacement en utilisant la méthode de Laguerre qui emploie l'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On l'appelle plus généralement la...) complexe et permet de localiser toutes les racines complexes. Ces algorithmes sont étudiés en analyse numérique.

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