Méthode de Sotta - Définition

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- Introduction - Principe de la méthode - Application à la résolution des équations de degré 4 - Application à la résolution des équations de degré 3 - Application à la résolution des équations de degré 6 - Application à la résolution des équations de degré 5 - Cas général - Application à la résolution des équations de degré 7 - Équations dont l'équation résolvante admet une racine nulle - Compléments - Exemples - Équations dont l'équation résolvante admet une racine double - Méthodes trigonométriques de Sotta - Méthode paramétrique de Sotta - Méthode trigonométrique de Sotta en tangente kpi/7 - Méthode trigonométrique de Sotta en tangente kpi/9 - Méthode trigonométrique de Sotta en cosinus kpi/7 - Méthode trigonométrique de Sotta en cosinus kpi/9 - Autres méthodes de résolution d'équations

Application à la résolution des équations de degré 6

Les équations de degré 6 :

$\qquad a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0$

admettent des racines sous la forme :

$\qquad \frac{b\sqrt[6]{a} - c\sqrt[6]{f}}{d\sqrt[6]{a} - e\sqrt[6]{f}}$

seulement si :

$\qquad 135a_6a_3^2-240a_6a_4a_2+16a_4^3-60a_5a_4a_3+100a_5^2a_2=0$
$\qquad 160a_5a_2^2-300a_5a_3a_1+27a_3^3-96a_4a_3a_2+160a_4^2a_1=0$
$\qquad 100a_4a_1^2-240a_4a_2a_0+16a_2^3-60a_3a_2a_1+135a_3^2a_0=0$

Par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré 6 vérifiant ces conditions de résolubilité.

Soit donc l'équation suivante :

$\qquad a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0,$

Premier cas : Si $(12a_6a_4-5a_5^2) \not = 0$ (condition pour que la résolvante soit du second degré).

La résolvante de Sotta associée sera :

$\qquad (120a_6a_4-50a_5^2)X^2 + (90a_6a_3-20a_5a_4)X + 15a_5a_3 - 8a_4^2= 0$

Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que $\frac{b}{d}$ et $\frac{c}{e}$ soit les racines de la résolvante. On calcule ensuite a et f à l'aide des formules :

$a = e^6a_5+6ce^5a_6 ~$
$f = d^6a_5+6bd^5a_6 ~$

Les six racines de l'équation à résoudre seront :

$\qquad x_k = \frac{be^{\frac{2ki\pi}{6}}\sqrt[6]{a} - c\sqrt[6]{f}}{de^{\frac{2ki\pi}{6}}\sqrt[6]{a} - e\sqrt[6]{f}}$ avec k prenant successivement les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Deuxième cas : Si $(12a_6a_4-5a_5^2) = 0$ .

Voir le paragraphe en fin d'article.

Application à la résolution des équations de degré 5

Les équations de degré 5 :

$\qquad a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0$

admettent des racines sous la forme :

$\qquad \frac{b\sqrt[5]{a} - c\sqrt[5]{f}}{d\sqrt[5]{a} - e\sqrt[5]{f}}$

seulement si :

$\qquad 10a_5a_2^2-20a_5a_3a_1+a_3^3-4a_4a_3a_2+8a_4^2a_1=0$
$\qquad 8a_4a_1^2-20a_4a_2a_0+a_2^3-4a_3a_2a_1+10a_3^2a_0=0$

Par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré 5 vérifiant ces conditions de résolubilité.

Soit donc l'équation suivante :

$\qquad a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0,$

Premier cas : Si $(5a_5a_3-2a_4^2) \not = 0$ (condition pour que la résolvante soit du second degré).

La résolvante de Sotta associée sera :

$\qquad (10a_5a_3-4a_4^2)X^2 + (10a_5a_2-2a_4a_3)X + 2a_4a_2 - a_3^2= 0$

Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que $\frac{b}{d}$ et $\frac{c}{e}$ soit les racines de la résolvante. On calcule ensuite a et f à l'aide des formules :

$a = e^5a_4+5ce^4a_5 ~$
$f = d^5a_4+5bd^4a_5 ~$

Les cinq racines de l'équation à résoudre seront :

$\qquad x_k = \frac{be^{\frac{2ki\pi}{5}}\sqrt[5]{a} - c\sqrt[5]{f}}{de^{\frac{2ki\pi}{5}}\sqrt[5]{a} - e\sqrt[5]{f}}$ avec k prenant successivement les valeurs 0, 1, 2, 3, 4.

Deuxième cas : Si $(5a_5a_3-2a_4^2) = 0$ .

Voir le paragraphe en fin d'article.

Cas général

Les équations de degré n supérieur ou égal à 4:

$\qquad a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0 ~$

admettent des racines sous la forme :

$\qquad \frac{b\sqrt[n]{a} - c\sqrt[n]{f}}{d\sqrt[n]{a} - e\sqrt[n]{f}}$

seulement si :

$\forall i \in \{0,1, \cdots ,n-4\} ~$

$.\qquad (i+4)!(i+1)!(i+1)!(n-i-4)!(n-i-1)!(n-i-1)!a_{i+4}a_{i+1}^2 \cdots ~$

$.\qquad \qquad \qquad \cdots - i!(i+2)!(i+4)!(n-i)!(n-i-2)!(n-i-4)!a_ia_{i+2}a_{i+4} \cdots ~$

$.\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots + (i+2)!(i+2)!(i+2)!(n-i-2)!(n-i-2)!(n-i-2)!a_{i+2}^3 \cdots ~$

$.\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots - 2(i+1)!(i+2)!(i+3)!(n-i-1)!(n-i-2)!(n-i-3)!a_{i+1}a_{i+2}a_{i+3} \cdots ~$

$.\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots + i!(i+3)!(i+3)!(n-i)!(n-i-3)!(n-i-3)!a_ia_{i+3}^2 = 0 ~$

Par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré n vérifiant cette condition de résolubilité.

Soit donc l'équation suivante :

$\qquad a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0 ~$

Premier cas : Si $2na_na_{n-2}-(n-1)a_{n-1}^2 \neq 0 ~$ (condition pour que la résolvante soit du second degré).

La résolvante de Sotta associée sera :

$\qquad (n-1)(n-2)[2na_na_{n-2}-(n-1)a_{n-1}^2]X^2 + 2(n-1)[3na_na_{n-3}-(n-2)a_{n-1}a_{n-2}]X + 6(n-1)a_{n-1}a_{n-3} - 4(n-2)a_{n-2}^2= 0$

Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que $\frac{b}{d}$ et $\frac{c}{e}$ soit les racines de la résolvante. On calcule ensuite a et f à l'aide des formules :

$\qquad a = e^na_{n-1}+nce^{n-1}a_n$
$\qquad f = d^na_{n-1}+nbd^{n-1}a_n$

Les n racines de l'équation à résoudre seront :

$\qquad x_k = \frac{be^{\frac{2ki\pi}{n}}\sqrt[n]{a} - c\sqrt[n]{f}}{de^{\frac{2ki\pi}{n}}\sqrt[n]{a} - e\sqrt[n]{f}}$ avec k prenant successivement toutes les valeurs entières de 0 à n-1

Deuxième cas : Si $2na_na_{n-2}-(n-1)a_{n-1}^2 = 0 ~$ .

Voir le paragraphe ci-après.

Application à la résolution des équations de degré 7

Les équations de degré 7 :

$\qquad a_7 x^7 + a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0$

admettent des racines sous la forme :

$\qquad \frac{b\sqrt[7]{a} - c\sqrt[7]{f}}{d\sqrt[7]{a} - e\sqrt[7]{f}}$

seulement si :

$\qquad 189a_7a_4^2-315a_7a_5a_3+25a_5^3-90a_6a_5a_4+135a_6^2a_3=0$
$\qquad 135a_6a_3^2-225a_6a_4a_2+27a_4^3-90a_5a_4a_3+125a_5^2a_2=0$
$\qquad 125a_5a_2^2-225a_5a_3a_1+27a_3^3-90a_4a_3a_2+135a_4^2a_1=0$
$\qquad 135a_4a_1^2-315a_4a_2a_0+25a_2^3-90a_3a_2a_1+189a_3^2a_0=0$

Par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré 7 vérifiant ces conditions de résolubilité.

Soit donc l'équation suivante :

$\qquad a_7 x^7 + a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0,$

Premier cas : Si $(7a_7a_5-3a_6^2) \neq 0$ (condition pour que la résolvante soit du second degré).

La résolvante de Sotta associée sera :

$\qquad (105a_7a_5-45a_6^2)X^2 + (63a_7a_4-15a_6a_5)X + 9a_6a_4 - 5a_5^2= 0$

Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que $\frac{b}{d}$ et $\frac{c}{e}$ soit les racines de la résolvante. On calcule ensuite a et f à l'aide des formules :

$a = e^7a_6+7ce^6a_7 ~$
$f = d^7a_6+7bd^6a_7 ~$

Les sept racines de l'équation à résoudre seront :

$\qquad x_k = \frac{be^{\frac{2ki\pi}{7}}\sqrt[7]{a} - c\sqrt[7]{f}}{de^{\frac{2ki\pi}{7}}\sqrt[7]{a} - e\sqrt[7]{f}}$ avec k prenant successivement les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Deuxième cas : Si $(7a_7a_5-3a_6^2) = 0$ .

Voir le paragraphe en fin d'article.

Équations dont l'équation résolvante admet une racine nulle

Nous avons stipulé en début d'article que l'équation à résoudre devait vérifier la condition :

$3(n-1)a_{n-1}a_{n-3} - 2(n-2)a_{n-2}^2 \neq 0 ~$

Si cette condition n'est pas vérifiée alors que le coefficient de degrés deux n'est pas nul, l'équation résolvante admet une racine nulle et dans ce cas la méthode ne peut pas, en général, aboutir.

Il y a toutefois une exception si l'équation à résoudre vérifie de plus la condition :

$(n-1)a_1^2 - 2na_0a_2 = 0 ~$

Dans ce cas, on peut appliquer la méthode normalement.

Application à la résolution des équations de degré 3

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