Méthode de Sotta - Définition

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- Introduction - Principe de la méthode - Application à la résolution des équations de degré 4 - Application à la résolution des équations de degré 3 - Application à la résolution des équations de degré 6 - Application à la résolution des équations de degré 5 - Cas général - Application à la résolution des équations de degré 7 - Équations dont l'équation résolvante admet une racine nulle - Compléments - Exemples - Équations dont l'équation résolvante admet une racine double - Méthodes trigonométriques de Sotta - Méthode paramétrique de Sotta - Méthode trigonométrique de Sotta en tangente kpi/7 - Méthode trigonométrique de Sotta en tangente kpi/9 - Méthode trigonométrique de Sotta en cosinus kpi/7 - Méthode trigonométrique de Sotta en cosinus kpi/9 - Autres méthodes de résolution d'équations

Compléments

Ce paragraphe examine plus en détail, pour n > 3, le cas où la résolvante n'est pas du second degré. C'est-à-dire si :

$2na_na_{n-2}-(n-1)a_{n-1}^2 = 0 ~$

En fait, cette condition entraîne que tous les coefficients de l'équation résolvante sont nuls.

Nous présentons la démonstration pour les équations du cinquième degré. Mais cette démonstration est aisément adaptable aux autres degrés.

Supposons donc que le coefficient du second degré de l'équation résolvante soit nul :

$10a_5a_3-4a_4^2 = 0 ~$

Nous remarquons que la première condition de résolubilité :

$10a_5a_2^2-20a_5a_3a_1+a_3^3-4a_4a_3a_2+8a_4^2a_1=0 ~$

peut s'écrire sous la forme :

$(\frac{a_3^2}{10a_5} - 2a_1)(10a_5a_3-4a_4^2) + 10a_5(a_2 - \frac{a_4a_3}{5a_5})^2 = 0 ~$

Ce qui compte tenu de l'hypothèse :

$10a_5a_3-4a_4^2 = 0 ~$

entraîne :

$a_2 = \frac{a_4a_3}{5a_5} ~$

Ce qui s'écrit :

$10a_5a_2 - 2a_4a_3 = 0 ~$

Ce qui montre que le coefficient de degré 1 est nul

Calculons ensuite le coefficient du terme de degré 0 de l'équation résolvante :

$2a_4a_2 - a_3^2 = 2a_4\frac{a_4a_3}{5a_5} - a_3^2 = \frac{2a_4^2a_3 - 5a_5a_3^2}{5a_5} = \frac{-a_3}{10a_5}(10a_5a_3 - 4a_4^2) = 0$

Nous avons bien démontré que tous les coefficients de l'équation résolvante sont nuls.

Nous avons alors deux possibilités.

Premier cas : Tous les coefficients de l'équation à résoudre ne sont pas nuls.

Alors l'équation à résoudre se met sous la forme :

$(ax + b)^n = c ~$

Nous présentons la démonstration pour les équations du cinquième degré. Mais cette démonstration est aisément adaptable aux autres degrés.

Soit l'équation à résoudre :

$a_5x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x^1 + a_0 = 0 ~$

Vérifiant ses deux conditions de résolubilités et dont tous les coefficients de l'équation résolvante sont nuls.

Posons :

$a_3 = t ~$

$a_4 = s ~$

Avec s et t non nuls puisque tous les coefficients de l'équation à résoudre sont non nuls.

La condition :

$10a_5a_3 - 4a_4^2 = 0 ~$

entraîne :

$a_5 = \frac{2a_4^2}{5a_3} = \frac{2s^2}{5t} ~$

La condition :

$2a_4a_2 - a_3^2 = 0 ~$

entraîne :

$a_2 = \frac{a_3^2}{2a_4} = \frac{t^2}{2s} ~$

La condition :

$8a_4a_1^2-20a_4a_2a_0+a_2^3-4a_3a_2a_1+10a_3^2a_0=0 ~$

S'écrit en remplaçant ce qui est connue :

$8sa_1^2-20s\frac{t^2}{2s}a_0+(\frac{t^2}{2s})^3-4t\frac{t^2}{2s}a_1+10t^2a_0 = 0 ~$

Qui se simplifie sous la forme :

$8sa_1^2 - 2\frac{t^3}{s}a_1 + \frac{t^6}{8s^3} = 0 ~$

En multipliant par 8s³, on obtient :

$64s^4a_1^2 - 16s^2t^3a_1 + t^6 = 0 ~$

Cette expression se factorise sous la forme :

$(8s^2a_1 - t^3)^2 = 0 ~$

D'où l'on déduit :

$a_1 = \frac{t^3}{8s^2} ~$

En reportant tous les coefficients que l'on a calculés dans l'équation à résoudre, on obtient :

$\frac{2s^2}{5t}x^5 + sx^4 + tx^3 + \frac{t^2}{2s}x^2 + \frac{t^3}{8s^2}x + a_0 = 0 ~$

En multipliant tous les termes par :

$5.2^4.s^3t ~$

On obtient :

$2^5s^5x^5 + 5.2^4s^4tx^4 + 10.2^3.s^3t^2x^3 + 10.2^2s^2t^3x^2 + 5.2st^4x + 5.2^4s^3ta_0 = 0 ~$

Qui peut s'écrire sous la forme :

$(2sx + t)^5 = t^5 - 5.2^4s^3ta_0 ~$

En posant :

$a = 2s ~$

$b = t ~$

$c = t^5 - 5.2^4.s^3ta_0 ~$

Nous voyons que l'équation à résoudre se met bien sous la forme :

Et l'on en déduit les n racines :

$x_k = \frac{1}{a}\left(e^{\frac{2ki\pi}{n}}\sqrt[n]{c} - b \right) ~$

Avec k prenant successivement toutes les valeurs entières de 0 à n-1

Deuxième cas : Certains coefficients de l'équation à résoudre sont nuls.

La méthode ne permet pas, en général, d'aboutir.

L'équation peut même être non résoluble par radicaux comme c'est le cas des équations du type :

$ax^5 + bx + c = 0 ~$

Dont on démontre qu'elles ne sont pas en général résolubles par radicaux pour b différent de 0.

Exemples

Les deux premiers exemples qui suivent ont été choisis de façon à ce que l'équation résolvante ait un discriminant sous forme de carré parfait afin de simplifier les calculs. Mais la méthode s'applique aussi bien lorsque le discriminant n'est pas un carré parfait, est négatif (Exemples 3 et 4), ou est un nombre complexe quelconque.

Exemple 1

Soit à résoudre l'équation :

$\qquad 6x^3 - 6x^2 + 12x + 7 = 0$

La résolvante de Sotta est :

$\qquad 2X^2 + 5X - 3 = 0$

qui a pour racine :

$\qquad \frac{b}{d} = \frac{1}{2} et \frac{c}{e} = -3$

On peut choisir :

$\qquad b = 1, c = -3, d = 2, e = 1$

d'où :

$\qquad a = e^3a_2+3ce^2a_3 = -60$

$\qquad f = d^3a_2+3bd^2a_3 = 24$

En posant :

$\qquad j = e^{\frac{2i\pi}{3}}$

On obtient les trois racines suivantes :

$\qquad x_1 = \frac{\sqrt[3]{-60} - (-3)\sqrt[3]{24}}{2\sqrt[3]{-60} - \sqrt[3]{24}} = \frac{\sqrt[3]{5} - 3\sqrt[3]{2}}{2\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2}}$

$\qquad x_2 = \frac{j\sqrt[3]{-60} - (-3)\sqrt[3]{24}}{2j\sqrt[3]{-60} - \sqrt[3]{24}} = \frac{j\sqrt[3]{5} - 3\sqrt[3]{2}}{2j\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2}}$

$\qquad x_3 = \frac{j^2\sqrt[3]{-60} - (-3)\sqrt[3]{24}}{2j^2\sqrt[3]{-60} - \sqrt[3]{24}} = \frac{j^2\sqrt[3]{5} - 3\sqrt[3]{2}}{2j^2\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2}}$

Exemple 2

Soit à résoudre l'équation :

$\qquad 14x^5 - 36x^4 + 32x^3 - 24x^2 - 2x - 3 = 0$

On a alors :

$\qquad a_5 = 14$
$\qquad a_4 = -36$
$\qquad a_3 = 32$
$\qquad a_2 = -24$
$\qquad a_1 = -2$
$\qquad a_0 = -3$

Pour savoir si l'équation est résoluble par la méthode de Sotta, nous devons vérifier les conditions de résolubilité.

$\qquad 10a_5a_2^2-20a_5a_3a_1+a_3^3-4a_4a_3a_2+8a_4^2a_1=10*14*24^2+20*14*32*2+32^3-4*36*32*24-8*36^2*2=0$ $\qquad 8a_4a_1^2-20a_4a_2a_0+a_2^3-4a_3a_2a_1+10a_3^2a_0=-8*36*2^2+20*36*24*3-24^3-4*32*24*2-10*32^2*3=0$

La résolvante de Sotta est :

$\qquad 2X^2 + 3X - 2=0$

qui a pour racine :

$\qquad \frac{b}{d} = \frac{1}{2} et \frac{c}{e} = -2$

On peut choisir :

$\qquad b = 1, c = 2, d = 2, e = -1$

d'où :

$\qquad a = e^5a_4+5ce^4a_5 = 176$

$\qquad f = d^5a_4+5bd^4a_5 = -32$

L'une des racines de l'équation sera :

$\qquad x_1 = \frac{\sqrt[5]{176} - 2\sqrt[5]{-32}}{2\sqrt[5]{176} - (-1)\sqrt[5]{-32}} = \frac{\sqrt[5]{11} + 2\sqrt[5]{2}}{2\sqrt[5]{11} - \sqrt[5]{2}}$

On obtient alors les cinq racines suivantes :

$\qquad x_1 = \frac{\sqrt[5]{11} + 2\sqrt[5]{2}}{2\sqrt[5]{11} - \sqrt[5]{2}}$

$\qquad x_2 = \frac{e^{\frac{2i\pi}{5}}\sqrt[5]{11} + 2\sqrt[5]{2}}{2e^{\frac{2i\pi}{5}}\sqrt[5]{11} - \sqrt[5]{2}}$

$\qquad x_3 = \frac{e^{\frac{4i\pi}{5}}\sqrt[5]{11} + 2\sqrt[5]{2}}{2e^{\frac{4i\pi}{5}}\sqrt[5]{11} - \sqrt[5]{2}}$

$\qquad x_4 = \frac{e^{\frac{6i\pi}{5}}\sqrt[5]{11} + 2\sqrt[5]{2}}{2e^{\frac{6i\pi}{5}}\sqrt[5]{11} - \sqrt[5]{2}}$

$\qquad x_5 = \frac{e^{\frac{8i\pi}{5}}\sqrt[5]{11} + 2\sqrt[5]{2}}{2e^{\frac{8i\pi}{5}}\sqrt[5]{11} - \sqrt[5]{2}}$

Exemple 3

Soit à résoudre l'équation :

$x^3 - 3(k + 1)x^2 + (3k^2 + 6k + 2)x - k(k^2 + 3k + 2) = 0 ~$

Donc les coefficients dépendent d'un paramètre k.

La résolvante de Sotta est :

$3X^2 - 6(k + 1)X + 3k^2 + 6k + 4 = 0 ~$

Donc le discriminant est :

$\Delta = -12 = (2i\sqrt{3})^2 ~$

et qui a donc pour racine :

$\qquad \frac{b}{d} = \frac{3k + 3 + i \sqrt{3}}{3} et \frac{c}{e} = \frac{3k + 3 - i \sqrt{3}}{3}$

On peut choisir :

$b = 3k + 3 + i \sqrt{3}, c = -3k - 3 + i \sqrt{3}, d = 3, e = -3 ~$

d'où :

$a = e^3a_2+3ce^2a_3 = 27i\sqrt{3} ~$

$f = d^3a_2+3bd^2a_3 = 27i\sqrt{3} ~$

En posant :

$j = e^{\frac{2i\pi}{3}} ~$

On obtient les trois racines suivantes :

$\left\{\begin{matrix} x_1 = \frac{(3k+3+i\sqrt{3})\sqrt[3]{27i\sqrt{3}} - (-3k-3+i\sqrt{3})\sqrt[3]{27i\sqrt{3}}}{3\sqrt[3]{27i\sqrt{3}} + 3\sqrt[3]{27i\sqrt{3}}} \\ x_2 = \frac{(3k+3+i\sqrt{3})j\sqrt[3]{27i\sqrt{3}} - (-3k-3+i\sqrt{3})\sqrt[3]{27i\sqrt{3}}}{3j\sqrt[3]{27i\sqrt{3}} + 3\sqrt[3]{27i\sqrt{3}}} \\ x_3 = \frac{(3k+3+i\sqrt{3})j^2\sqrt[3]{27i\sqrt{3}} - (-3k-3+i\sqrt{3})\sqrt[3]{27i\sqrt{3}}}{3j^2\sqrt[3]{27i\sqrt{3}} + 3\sqrt[3]{27i\sqrt{3}}} \end{matrix}\right.$

En simplifiant le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par :

$\sqrt[3]{27i\sqrt{3}} ~$

Et en remarquant que :

$j = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i ~$

On obtient :

$\left\{\begin{matrix} x_1 = \frac{(3k+3+i\sqrt{3}) - (-3k-3+i\sqrt{3})}{3 + 3} \\ x_2 = \frac{(3k+3+i\sqrt{3})(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) - (-3k-3+i\sqrt{3})}{3(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) + 3} \\ x_3 = \frac{(3k+3+i\sqrt{3})(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) - (-3k-3+i\sqrt{3})}{3(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) + 3} \end{matrix}\right.$

En développant et en multipliant éventuellement le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par 2, on obtient :

$\left\{\begin{matrix} x_1 = \frac{6k + 6}{6} \\ x_2 = \frac{3k + 3ki\sqrt{3}}{3 + 3i\sqrt{3}} \\ x_3 = \frac{3k + 6 - 6i\sqrt{3} - 3ki\sqrt{3}}{3 - 3ki\sqrt{3}} \end{matrix}\right.$

En multipliant éventuellement le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par l'expression conjuguée du dénominateur correspondant, on obtient finalement :

$\left\{\begin{matrix} x_1 = k + 1 \\ x_2 = k \\ x_3 = k + 2 \end{matrix}\right.$

Exemple 4

Soit à résoudre l'équation :

$x^3 - 3x^2\sqrt{3} - 3x + \sqrt{3} = 0 ~$

La résolvante de Sotta est :

$\qquad X^2 + 1 = 0$

qui a pour racine :

$\qquad \frac{b}{d} = i et \frac{c}{e} = -i$

On peut choisir :

$\qquad b = i, c = -i, d = 1, e = 1$

d'où :

$\qquad a = e^3a_2+3ce^2a_3 = -3\sqrt{3} - 3i$

$\qquad f = d^3a_2+3bd^2a_3 = -3\sqrt{3} + 3i$

En posant :

$\qquad j = e^{\frac{2i\pi}{3}}$

On obtient les trois racines suivantes :

$\left\{\begin{matrix} x_1 = \frac{i\sqrt[3]{-3\sqrt{3} - 3i} - (-i)\sqrt[3]{-3\sqrt{3} + 3i}}{\sqrt[3]{-3\sqrt{3} - 3i} - \sqrt[3]{-3\sqrt{3} + 3i}} \\ x_2 = \frac{ij\sqrt[3]{-3\sqrt{3} - 3i} - (-i)\sqrt[3]{-3\sqrt{3} + 3i}}{j\sqrt[3]{-3\sqrt{3} - 3i} - \sqrt[3]{-3\sqrt{3} + 3i}} \\ x_3 = \frac{ij^2\sqrt[3]{-3\sqrt{3} - 3i} - (-i)\sqrt[3]{-3\sqrt{3} + 3i}}{j^2\sqrt[3]{-3\sqrt{3} - 3i} - \sqrt[3]{-3\sqrt{3} + 3i}} \end{matrix}\right. \Longrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1 = \frac{i\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i} + i\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i}}{\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i} - \sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i}} \\ x_2 = \frac{ij\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i} + i\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i}}{j\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i} - \sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i}} \\ x_3 = \frac{ij^2\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i} + i\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i}}{j^2\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i} - \sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i}} \end{matrix}\right. ~$

Comme :

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i = cos(\frac{\pi}{6}) + i.sin(\frac{\pi}{6}) = e^{\frac{i\pi}{6}} ~$

$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i = cos(-\frac{\pi}{6}) + i.sin(-\frac{\pi}{6}) = e^{-\frac{i\pi}{6}} ~$

$j = e^{\frac{2i\pi}{3}} ~$

$j^2 = e^{\frac{-2i\pi}{3}} ~$

On obtient :

$\left\{\begin{matrix} x_1 = \frac{i\sqrt[3]{e^{\frac{i\pi}{6}}} + i\sqrt[3]{e^{-\frac{i\pi}{6}}}}{\sqrt[3]{e^{\frac{i\pi}{6}}} - \sqrt[3]{e^{-\frac{i\pi}{6}}}} \\ x_2 = \frac{i.e^{\frac{2i\pi}{3}}\sqrt[3]{e^{\frac{i\pi}{6}}} + i\sqrt[3]{e^{-\frac{i\pi}{6}}}}{e^{\frac{2i\pi}{3}}\sqrt[3]{e^{\frac{i\pi}{6}}} - \sqrt[3]{e^{-\frac{i\pi}{6}}}} \\ x_3 = \frac{i.e^{\frac{-2i\pi}{3}}\sqrt[3]{e^{\frac{i\pi}{6}}} + i\sqrt[3]{e^{-\frac{i\pi}{6}}}}{e^{\frac{-2i\pi}{3}}\sqrt[3]{e^{\frac{i\pi}{6}}} - \sqrt[3]{e^{-\frac{i\pi}{6}}}} \end{matrix}\right. \Longrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1 = \frac{ie^{\frac{i\pi}{18}} + ie^{-\frac{i\pi}{18}}}{e^{\frac{i\pi}{18}} - e^{-\frac{i\pi}{18}}} \\ x_2 = \frac{i.e^{\frac{13i\pi}{18}} + ie^{-\frac{i\pi}{18}}}{e^{\frac{13i\pi}{18}} - e^{-\frac{i\pi}{18}}} \\ x_3 = \frac{ie^{\frac{-11i\pi}{18}} + ie^{-\frac{i\pi}{18}}}{e^{\frac{-11i\pi}{18}} - e^{-\frac{i\pi}{18}}} \end{matrix}\right. \Longrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1 = \frac{i(e^{\frac{i\pi}{18}} + e^{-\frac{i\pi}{18}})}{e^{\frac{i\pi}{18}} - e^{-\frac{i\pi}{18}}} \\ x_2 = \frac{i(e^{\frac{13i\pi}{18}} + e^{-\frac{i\pi}{18}})e^{\frac{-6i\pi}{18}}}{(e^{\frac{13i\pi}{18}} - e^{-\frac{i\pi}{18}})e^{\frac{-6i\pi}{18}}} \\ x_3 = \frac{i(e^{\frac{-11i\pi}{18}} + e^{-\frac{i\pi}{18}})e^{\frac{6i\pi}{18}}}{(e^{\frac{-11i\pi}{18}} - e^{-\frac{i\pi}{18}})e^{\frac{6i\pi}{18}}} \end{matrix}\right. \Longrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1 = \frac{i(e^{\frac{i\pi}{18}} + e^{-\frac{i\pi}{18}})}{e^{\frac{i\pi}{18}} - e^{-\frac{i\pi}{18}}} \\ x_2 = \frac{i(e^{\frac{7i\pi}{18}} + e^{\frac{-7i\pi}{18}})}{e^{\frac{7i\pi}{18}} - e^{\frac{-7i\pi}{18}}} \\ x_3 = \frac{i(e^{\frac{-5i\pi}{18}} + e^{\frac{5i\pi}{18}})}{e^{\frac{-5i\pi}{18}} - e^{\frac{5i\pi}{18}}} \end{matrix}\right. ~$

Compte tenue des formules d'Euler :

$\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2} ~$

$\sin x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i} ~$

On obtient :

$\left\{\begin{matrix} x_1 = \frac{i.2cos( \frac{\pi}{18} )}{2isin(\frac{\pi}{18})} \\ x_2 = \frac{i.2cos( \frac{7\pi}{18} )}{2isin(\frac{7\pi}{18})} \\ x_3 = \frac{i.2cos( \frac{5\pi}{18} )}{-2isin(\frac{5\pi}{18})} \end{matrix}\right. \Longrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1 = \frac{sin( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{18} )}{cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{18})} \\ x_2 = \frac{sin(\frac{\pi}{2} - \frac{7\pi}{18} )}{cos(\frac{\pi}{2} - \frac{7\pi}{18})} \\ x_3 = \frac{sin(\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{18} )}{cos(\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{18})} \end{matrix}\right. \Longrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1 = \frac{sin(\frac{4\pi}{9} )}{cos(\frac{4\pi}{9})} \\ x_2 = \frac{sin(\frac{\pi}{9} )}{cos(\frac{\pi}{9})} \\ x_3 = \frac{sin(\frac{7\pi}{9} )}{cos(\frac{7\pi}{9})} \end{matrix}\right. ~$

On obtient donc finalement :

$\left\{\begin{matrix} x_1 = tan(\frac{4\pi}{9}) \\ x_2 = tan(\frac{\pi}{9}) \\ x_3 = tan(\frac{7\pi}{9}) \end{matrix}\right. ~$

Équations dont l'équation résolvante admet une racine nulle

Équations dont l'équation résolvante admet une racine double

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