Particule dans une boîte - Définition

Propagation libre

Si le potentiel est nul (ou constant) en tout point, on définit une particule libre. Ceci apporte quelques difficultés de normalisation de la fonction d'onde. Une manière de contourner le problème est de contraindre la particule dans un volume fini V de grandeur arbitraire, dans lequel il n'y a pas d'obstacle à la propagation. Il faut que lorsque V→ ∞, on récupère la particule libre, tout en permettant dans les calculs intermédiaires l'utilisation des états correctement normalisés. Aussi, quand nous décrivons par exemple une particule se déplaçant dans un solide, on ne s'attend pas à des états localisés spatialement mais au contraire à des états complètement délocalisés (dans le solide), ce qui signifie que la particule se propage à travers lui (puisqu'elle peut être partout avec la même probabilité, à l'inverse des solutions sinusoïdales que nous avons rencontrées lorsque la particule a des localisations préférentielles). Cette interprétation découle des solutions de l'équation de Schrödinger pour un potentiel nul avec les conditions aux limites dites "Von-Karman boundary conditions", i.e. la fonction d'onde prend les mêmes valeurs sur les faces opposées de la boîte, mais pas nécessairement nulles. On vérifie ensuite que les fonctions suivantes sont solution de l'équation 1:

L'énergie reste (cf. eq. 3) mais ici les k ont des valeurs doubles de ceux de la solution précédente (cf. eq. 7). C'est parce que, dans le cas précédent, n était strictement positif alors qu'ici il peut être négatif ou nul (l'état fondamental). Les solutions où la fonction sinusoïdale ne se superpose pas sur elle-même après une translation de L ne peuvent pas être trouvés à l'aide d'une exponentielle, puisque dans cette interprétation d'une particule qui se propage, la dérivée est discontinue aux bords, cela veut dire que la particule acquiert une vitesse infinie à cet endroit. Cela montre que les deux interprétations traduisent des comportements intrinsèquement différents.