Équation de Schrödinger - Définition et Explications


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L'équation de Schrödinger (L'équation de Schrödinger, conçue par le physicien autrichien Erwin Schrödinger en 1925, est...), conçue par le physicien (Un physicien est un scientifique qui étudie le champ de la physique, c'est-à-dire la...) autrichien Erwin Schrödinger (Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (12 août 1887 à Vienne - 4 janvier 1961)...) en 1925, est une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) en physique quantique (La physique quantique est l'appellation générale d'un ensemble de théories physiques...) non-relativiste. Elle décrit l'évolution dans le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) d'une particule massive (Le mot massif peut être employé comme :) non-relativiste, et remplit ainsi le même rôle que la relation fondamentale de la dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il...) en mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...) classique.

Naissance de l'équation

Le contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le...) historique

Au début du XXe siècle, il était devenu clair que la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil...) présente une dualité onde-corpuscule, c'est-à-dire qu'elle pouvait se manifester, selon les circonstances, soit comme une particule, le photon (En physique des particules, le photon (souvent symbolisé par la lettre γ — gamma)...), soit comme une onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible...) électromagnétique. Louis de Broglie (Louis Victor de Broglie, prince, puis duc de Broglie (15 août 1892 à Dieppe,...) proposa de généraliser cette dualité à toutes les particules connues bien que cette hypothèse eût pour conséquence paradoxale que les électrons devaient pouvoir produire des interférences comme la lumière, ce qui fut vérifié ultérieurement par l'expérience. Par analogie avec le photon, Louis de Broglie associa ainsi à chaque particule libre d'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la...) E et de quantité de mouvement (En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse et la masse...) p une fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un...) ν et une longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation...) λ :

\left\{\begin{matrix}E=h\nu\\p=h/\lambda\end{matrix}\right..

L'équation de Schrödinger, trouvée par le physicien Erwin Schrödinger en 1925, est une équation d'onde qui généralise l'approche de de Broglie ci-dessus aux particules massives non-relativistes soumises à une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un...) dérivant d'une énergie potentielle, dont l'énergie mécanique (L'énergie mécanique est une quantité utilisée en mécanique classique pour désigner l'énergie...) totale est classiquement :

E = {p^2\over 2m}+ V(r).

Le succès de l'équation, déduite de cette extension par utilisation du principe de correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le...), fut immédiat quant à l'évaluation des niveaux quantifiés d'énergie de l'électron (L'électron est une particule élémentaire de la famille des leptons, et possèdant une charge...) dans l'atome (Un atome (grec ancien ἄτομος [atomos], « que...) d'hydrogène (L'hydrogène est un élément chimique de symbole H et de numéro atomique 1.), car elle permit d'expliquer les raies d'émission de l'hydrogène : séries de Lyman, Balmer, Bracket, Paschen, etc.

L'interprétation physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...) correcte de la fonction d'onde de Schrödinger ne fut donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) qu'en 1926 par Max Born (Max Born (11 décembre 1882 à Breslau, Empire allemand -...). En raison du caractère probabiliste qu'elle introduisait, la mécanique ondulatoire (La mécanique ondulatoire est, comme son nom l'indique, une mécanique régie par la propagation...) de Schrödinger suscita initialement de la méfiance chez quelques physiciens de renom comme Albert Einstein (Albert Einstein (né le 14 mars 1879 à Ulm, Wurtemberg, et mort le...), pour qui " Dieu ne joue pas aux dés ".

La dérivation historique

Le schéma conceptuel utilisé par Schrödinger pour dériver son équation repose sur une analogie formelle entre l'optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement...) et la mécanique :

  • En optique ondulatoire (L'optique ondulatoire est la discipline qui étudie la lumière en la considérant comme étant une...), l'équation de propagation dans un milieu transparent d'indice réel n variant lentement à l'échelle de la longueur d'onde conduit - lorsqu'on cherche une solution monochromatique (On qualifie de monochromatique (du grec mono-, un seul et chromos, couleur) une lumière dont la...) dont l'amplitude (Dans cette simple équation d’onde :) varie très lentement devant la phase (Le mot phase peut avoir plusieurs significations, il employé dans plusieurs domaines et...) - à une équation approchée dite de l'eikonale. C'est l'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...) de l'optique géométrique (L'optique géométrique est une branche de l'optique qui s'appuie notamment sur la notion...), à laquelle est associée le principe variationnel (Un principe variationnel est un principe physique issu d'un problème exprimé sous une...) de Fermat.
  • Dans la formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits...) hamiltonienne de la mécanique classique, il existe une équation dite de Hamilton-Jacobi. Pour une particule massive non relativiste soumise à une force dérivant d'une énergie potentielle, l'énergie mécanique totale est constante et l'équation de Hamilton-Jacobi pour la "fonction caractéristique (On rencontre des fonctions caractéristiques dans plusieurs domaines :) de Hamilton" ressemble alors formellement à l'équation de l'eikonale (le principe variationnel associé étant le principe de moindre action (Le principe de moindre action est l'hypothèse physique selon laquelle la dynamique d'une...).)

Ce parallèle avait été noté dès 1834 par Hamilton, mais celui-ci n'avait alors par de raison de douter de la validité de la mécanique classique. Après l'hypothèse de de Broglie (En physique, l'hypothèse de de Broglie est l'affirmation que toute matière est dotée...) de 1923, Schrödinger s'est dit[1] : l'équation de l'eikonale étant une approximation de l'équation d'onde de l'optique ondulatoire, cherchons l'équation d'onde de la "mécanique ondulatoire" (à construire) dont l'approximation soit l'équation de Hamilton-Jacobi. Ce qu'il a fait, d'abord pour une onde stationnaire (Une onde stationnaire est le phénomène résultant de la propagation simultanée dans des...) (E = cte), puis pour une onde quelconque[2].

Remarque : Schrödinger avait en fait commencé par traiter le cas d'une particule relativiste - comme d'ailleurs de Broglie avant lui[3]. Il a alors obtenu l'équation connue aujourd'hui sous le nom de Klein-Gordon, mais son application au cas du potentiel coulombien donnant des niveaux d'énergie incompatibles avec les résultats expérimentaux de l'atome d'hydrogène[4], il se serait rabattu sur le cas non-relativiste, avec le succès que l'on connait.


Formulation moderne de l'équation

En mécanique quantique (La mécanique quantique est la branche de la physique qui a pour but d'étudier et de...), l'état à l'instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas...) t d'un système est décrit par un élément \left| \Psi (t)\right\rangle de l'espace complexe de Hilbert — est utilisée la notation bra-ket (La notation bra-ket a été introduite par Paul Dirac pour faciliter l’écriture...) de Paul Dirac (Paul Adrien Maurice Dirac (8 août 1902 à Bristol, Angleterre - 20 octobre 1984 à...). \left| \Psi (t)\right\rangle représente les probabilités de résultats de toutes les mesures possibles d'un système.

L'évolution temporelle de \left| \Psi (t)\right\rangle est décrite par l'équation de Schrödinger :

\mathbf{\hat{H}} \left| \Psi (t)\right\rangle = i \hbar {d\over dt} \left| \Psi (t) \right\rangle =  \frac{\hat{\vec{\mathbf{p}}}^2}{2m}\left| \Psi (t)\right\rangle + V(\hat{\vec{\mathbf{r}}},t)\left| \Psi (t) \right\rangle

  • i\, est l'unité imaginaire ;
  • \hbar\, est la constante de Planck (En physique, la constante de Planck, notée h, est une constante utilisée pour décrire la taille...) réduite (h/2π) ;
  • \hat{H}\, est l'hamiltonien, dépendant du temps en général, l'observable (Dans le formalisme de la mécanique quantique, une opération de mesure (c'est-à-dire...) correspondant à l'énergie totale du système ;
  • \hat{\vec{\mathbf{r}}}\, est l'observable position ;
  • \hat{\vec{\mathbf{p}}}\, est l'observable impulsion.

Il est à noter que, contrairement aux équations de Maxwell (Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, sont des lois...) gérant l'évolution des ondes électromagnétiques, l'équation de Schrödinger est non relativiste. Notons également que cette équation ne se démontre pas : c'est un postulat. Elle a été supposée correcte après que Davisson et Germer eurent confirmé expérimentalement l'hypothèse de Louis de Broglie.

Résolution de l'équation

L'équation de Schrödinger étant une équation vectorielle on peut la réécrire de façon équivalente dans une base particulière de l'espace des états. Si on choisit par exemple la base \left|\vec{r}\right\rangle correspondant à la représentation de position définie par

\hat{\vec{\mathbf{r}}}\left|\vec{r}\right\rangle=\vec{r}\left|\vec{r}\right\rangle

alors la fonction d'onde \Psi (t,\vec{r})\equiv\left\langle\vec{r}\right|\left.\Psi(t)\right\rangle\, satisfait à l'équation suivante

i\hbar{\partial\Psi(t,\vec{r})\over\partial t}=-{\hbar^2\over 2m}\overrightarrow{\nabla}^2\Psi(t,\vec{r})+V(\vec{r},t)\Psi(t,\vec{r})

\overrightarrow{\nabla}^2\, est le laplacien.

Sous cette forme on voit que l'équation de Schrödinger est une équation aux dérivées partielles faisant intervenir des opérateurs linéaires, ce qui permet d'écrire la solution générique comme somme de solutions particulières. L'équation est dans la grande majorité des cas trop compliquée pour admettre une solution analytique de sorte que sa résolution est approchée et/ou numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information...).

Recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue...) des états propres

Les opérateurs apparaissant dans l'équation de Schrödinger sont des opérateurs linéaires ; il s'ensuit que toute combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire de solutions est solution de l'équation. Cela mène à favoriser la recherche de solutions qui ont un grand intérêt théorique et pratique : à savoir les états qui sont propres de l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) hamiltonien.

Ces états sont donc solutions de l'équation aux états et valeurs propres,

H|\varphi_{n}\rangle =E_{n}|\varphi_{n}\rangle

qui porte parfois le nom d’équation de Schrödinger indépendante du temps. L'état propre |\varphi_{n}\rangle est associé à la valeur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une...) En , scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) réel, énergie de la particule dont |\varphi_{n}\rangle est l'état.

Les valeurs de l'énergie peuvent être discrètes comme les solutions liées d'un puits de potentiel (par ex. niveaux de l'atome d'hydrogène) ; il en résulte une quantification des niveaux d'énergie. Elles peuvent aussi correspondre à un spectre continu comme les solutions libres d'un puits de potentiel (par ex. un électron ayant assez d'énergie pour s'éloigner à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...) du noyau de l'atome d'hydrogène).

Il arrive souvent que plusieurs états |\varphi_{n}\rangle correspondent à une même valeur de l'énergie : l'on parle alors de niveaux d'énergie dégénérés.

D'une façon générale, la détermination de chacun des états propres de l'hamiltonien, |\varphi_{n}>, et de l'énergie associée, fournit l'état stationnaire correspondant, solution de l'équation de Schrödinger :

|\psi_{n}(t)\rangle \,= \, |\varphi_{n}\rangle \,\exp( \frac{-iE_{n}t}{\hbar} ).

Une solution de l'équation de Schrödinger peut alors s'écrire très généralement comme une combinaison linéaire de tels états :

|\psi(t)\rangle \, = \, \sum_{n}\sum_{j} c_{n,j}|\varphi_{n,j}\rangle \exp(\frac{-iE_{n}t}{\hbar}).

Selon les postulats de la mécanique quantique,

  • le scalaire complexe cn,i est l'amplitude de l'état | ψ(t) > sur l'état |\varphi_{n,i}> ;
  • le réel Σi | cn,i | 2 est la probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un...) (dans le cas d'un spectre discret) de trouver l'énergie En lors d'une mesure de l'énergie sur le système.

Rareté d'une résolution analytique exacte

La recherche des états propres de l'hamiltonien est en général complexe. Même le cas analytiquement soluble de l'atome d'hydrogène ne l'est rigoureusement sous forme simple que si l'on néglige le couplage avec le champ électromagnétique (Un champ électromagnétique est la représentation dans l'espace de la force...) qui va permettre le passage des états excités, solutions de l'équation de Schrödinger de l'atome, vers le fondamental.

Certains modèles simples, bien que non tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) à fait conformes à la réalité, peuvent être résolus analytiquement et s'avèrent très utiles :

  • particule libre (potentiel nul) ;
  • oscillateur harmonique (Les oscillateurs existent dans de nombreux domaines de la physique : mécanique, électricité...) (potentiel quadratique) ;
  • particule se déplaçant sur un anneau ;
  • particule dans un puits de potentiel rectangulaire ;
  • particule dans un guide d'onde annulaire ;
  • particule dans un potentiel à symétrie sphérique ;
  • particule dans un réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des...) unidimensionnel (potentiel périodique).

Dans les autres cas, il faut faire appel aux diverses techniques d'approximation :

  • la théorie des perturbations (D'un point de vue heuristique, la théorie des perturbations est une méthode...) fournit des expressions analytiques sous la forme de développements asymptotiques autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne...) d'un problème non-perturbé exactement soluble.
  • l'analyse numérique permet d'explorer des situations inaccessibles par la théorie de perturbation.

Généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de...) de l'équation

La généralisation au domaine relativiste mena à l'équation de Klein-Gordon, puis à l'équation de Dirac ; cette dernière établit naturellement l'existence du spin (Le spin est une propriété quantique intrinsèque associée à chaque...) et des antiparticules. Cependant, il n'existe aucune interprétation entièrement cohérente de ces équations d'ondes relativistes dans le cadre d'une théorie décrivant une seule particule ; le cadre pertinent pour le théorique quantique relativiste est la théorie quantique des champs (La théorie quantique des champs (QFT, abréviation du terme anglais Quantum field theory)...).

Bibliographie

  • Erwin Schrödinger ; Mémoires sur la mécanique ondulatoire, Félix-Alcan (Paris-1933). Réédition Jacques Gabay (1988), ISBN 2-87647-048-9. Contient la traduction française par Alexandre Proca des mémoires historiques de 1926 :
    • Quantification et valeurs propres (I) et (II), Annalen der Physik (4) 79 (1926) ;
    • Sur les rapports qui existent entre la mécanique quantique de Heisenberg-Born-Jordan et la mienne, Annalen der Physik (4) 79 (1926) ;
    • Quantification et valeurs propres (III) - Théorie des perturbations avec application à l'effet Stark des raies de Balmer, Annalen der Physik (4) 80 (1926) ;
    • Quantification et valeurs propres (IV), Annalen der Physik (4) 81 (1926) ; ainsi que les articles suivants :
    • Le passage continu de la micro-mécanique à la mécanique macroscopique, Die Naturwissenschaften, 14 Jahrg., Heft 28 (1926), 664-666 ;
    • Sur l'effet Compton, Annalen der Physik (4) 82(1927) ;
    • Le théorème de la conservation d'énergie et de quantité de mouvement pour les ondes matérielles, Annalen der Physik (4) 82 (1927) ;
    • Echanges d'énergie d'après la mécanique ondulatoire, Annalen der Physik (4) 83 (1927).
Préface de Marcel Brillouin. Avant-propos de l'Auteur et notes inédites spécialement écrites pour cette traduction.
  • Erwin Schrödinger, " An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules ", Phys. Rev. 28, 1049 (1926) [(en)lire en ligne]
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