Problème de l'obstacle - Définition

Introduction

Le problème de l'obstacle est un problème classique de mécanique. Pour visualiser ce problème, il faut imaginer une membrane recouvrant un objet appelé alors obstacle (tel un film cellophane recouvrant un rôti de boeuf !). En effet, ce problème consiste à trouver une courbe solution u qui a une position très précise par rapport à l'obstacle et qui en plus vérifie une propriété de minimisation de longueur.

Pour mieux appréhender le problème, considérons-le en dimension 1. La membrane est alors un élastique recouvrant un objet. Cet élastique qui se trouve toujours au-dessus de l'objet tend à minimiser sa longueur. De plus, pour de petites variations, minimiser sa longueur revient à minimiser son énergie, en effet paramétrant l'élastique sur l'intervalle [ − 1,1] par

pour .

la longueur de l'élastique entre − 1 et 1 est :

Nous voudrions minimiser cette longueur, c'est-à-dire trouver

.

Or, si u' est suffisamment petit, nous avons .

Minimiser la longueur de l'élastique revient donc à trouver

,

ce qui revient à minimiser

.

Approche théorique

Existence et unicité

Le problème de l'obstacle peut être vu comme une application du théorème de Stampacchia, en considérant la proposition suivante:

Proposition —  L'espace de Hilbert le convexe fermé non vide

où et χ < 0 aux bords, la forme bilinéaire, continue, coercive et symétrique

{{refnec| }}

et la forme linéaire continue

{{refnec|}}

vérifient les hypothèses du théorème de Stampacchia.

(Les démonstrations se font aisément en utilisant les inégalités de Hölder et de Poincaré.)

Le théorème de Stampacchia s'applique donc, et ainsi il existe un unique

tel que :

Ce qui est équivalent à dire qu'il existe un unique tel que :

De plus, a étant symétrique, alors u est caractérisé par la propriété :

Propriétés de la solution

Démontrons à présent quelques propriétés vérifées par la solution u, en utilisant la dérivée seconde de u. Cependant , u' est alors une dérivée faible et se pose alors le problème de définir la dérivée seconde. C'est pourquoi il faut utiliser une théorie plus générale : la théorie des distributions.

Démonstration —

• Pour la première assertion : soit une fonction test telle que sur Ω. Alors et donc ainsi . En appliquant le théorème de Stampacchia avec , nous obtenons :

Ainsi, en passant aux distributions :

Donc au sens des distributions.

• Pour la seconde assertion : ω est un ouvert. Soit et soit C un compact de ω tel que supp . Le principe est le même que précédemment, il faut trouver suffisamment petit pour que . Prenant alors α tel que

,

nous obtenons , et donc . Appliquons le théorème de Stampacchia avec :

Comme α prend des valeurs positives ou négatives, alors

Comparaison d'énergies

Démonstration — Les démonstrations se font facilement en calculant la dérivée pour chaque fonction. Quant à la solution tordue, il faut considérer de la forme , où

Conclusion

Fig. 3: Solution dans le cas d'un obstacle concave

La solution semble donc être (voir Fig. 3)

,

et on vérifie facilement que c'est le cas car cette solution vérifie le théorème de Stampacchia qui garantit son unicité :